← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (32332071623033390200629798896a^{2} - 186742826677161404690941840712a - 251154447307565988622873157376 )x^{47} + (633373389395669294643538693384a^{2} + 434723745223644272519420344400a + 434462489908028707306844931924 )x^{46} + (-14375072510640606215421033328a^{2} + 552442339149966229604997463664a + 386911733204704096072611473992 )x^{45} + (-93106140429178890189596499164a^{2} + 38369155163923611870421226720a - 197640584921148374022048546780 )x^{44} + (-197209549118521935562527183960a^{2} - 203730245918074265613594222264a - 432710316765423850255577918648 )x^{43} + (-76482403481521946470118475120a^{2} - 145734447879068600601295720484a + 233850385370471758311688861856 )x^{42} + (219488174346208359349492397152a^{2} + 24919878548382471696257158864a + 67848027649006406392933603344 )x^{41} + (-569074928608122287308379256636a^{2} + 83526431835544151114792081536a + 397845327639396613597332549656 )x^{40} + (35611447589220492876670684720a^{2} + 433172645832792266196601398528a + 464826308107955917209320094304 )x^{39} + (-287250262446683052004436354592a^{2} - 447318721279253278872903893372a + 539691308402619464129356516772 )x^{38} + (84049223499683588502939559360a^{2} - 255296543826636826632752464432a + 469488944607289920805891500824 )x^{37} + (613295544792471776369472858668a^{2} - 314815759999671217834478749004a + 283214150702578441478683802144 )x^{36} + (603546712933855277700304172816a^{2} - 506649475398140937691323228304a - 511700067292506544191004765968 )x^{35} + (222823580047848654496513393808a^{2} + 527580079668996152571266565072a - 356428185217106486485303514804 )x^{34} + (-55222152416619714845604890096a^{2} + 2046919598518962567837967720a + 530094448271237047505917081240 )x^{33} + (447202756603913731530280844246a^{2} + 140494641471687779571854299622a + 152204060673642434964465587602 )x^{32} + (269376387112005083664327745968a^{2} - 472772280309340587803529668592a + 512806108531691826560591478768 )x^{31} + (-253899060094141256762170386104a^{2} - 426721950971611276206990450192a + 431323860769012769233646426824 )x^{30} + (-474145689106086858450819963336a^{2} + 24753305104646772042357947720a - 392561314723811704627887251816 )x^{29} + (434299241181086000560525155172a^{2} + 321201509673940235653589913760a + 616077934228730336583981882016 )x^{28} + (15476351700394018444780886288a^{2} + 202592495524847988437990903984a - 205011476361310292630564644768 )x^{27} + (477774721115283083517010239288a^{2} - 468956093607891441975833284200a - 572333391350946575481942543192 )x^{26} + (61668506522318761441514971960a^{2} - 556522592257559598092855684640a + 467806146438599507700220630352 )x^{25} + (382048996891359668725520516096a^{2} + 125037141205413862441733299824a + 449359447171833644154860220248 )x^{24} + (338906598188492510338809984256a^{2} - 372362760686048328756662982432a - 33554550903397522688133143392 )x^{23} + (626808925950058907008957227256a^{2} - 305861487430062987917096908240a + 29973149578088566759786431272 )x^{22} + (488776330245437802488044661840a^{2} + 260500991532228031687432800000a - 360157833385865157570272912928 )x^{21} + (228559434483529290480500846856a^{2} + 27359226664361258958607598560a + 28651784176784842233666946128 )x^{20} + (202756837671664974687506408496a^{2} + 320949826532342948418863823792a - 445000470054305322263479805536 )x^{19} + (342481016429870854019805286088a^{2} - 580681749040391687725347249480a + 101950642262268864414782780368 )x^{18} + (-95717082276258654800125006304a^{2} - 251867938609656596746630052848a + 608122602422982231156380565312 )x^{17} + (227324947389303405852087384440a^{2} + 522957489196886812175526820844a + 582348344275158510563700853684 )x^{16} + (-161669366913065382959463812768a^{2} - 570127133874071058309868251264a - 136937196664042658632881491840 )x^{15} + (329885875768959232398607910272a^{2} + 542059897738543557094012723728a - 460179594669429689577657422880 )x^{14} + (-289178539464781459199363110160a^{2} + 79908611998312765781805030304a - 454507957958753946149539229712 )x^{13} + (-109944847986011726468587706368a^{2} + 479831002503304641040385586392a - 24120634776984423244749486448 )x^{12} + (-278992577085956676054908365664a^{2} - 404166080231826017154845242720a + 550018968594850902164908961888 )x^{11} + (-138523061691981847600112525416a^{2} + 6639616177030346174199836864a - 417283078175559940730717182104 )x^{10} + (-420478631831092934832691012304a^{2} - 629603362124853447520272561440a + 200250353337042375347923877168 )x^{9} + (-448233443170976428892310107828a^{2} - 549431909848320463689860458460a + 345662182759049534478118151112 )x^{8} + (-100079722718550805537660706464a^{2} - 518494105571777677255567441568a - 167961469151399877352446757376 )x^{7} + (-335165762812947148993362720a^{2} - 626588592036975560960311301040a + 567081829397038966180027509920 )x^{6} + (-157797080676531369411986464800a^{2} - 72078778058842869265660196768a + 240248582435326011838386727392 )x^{5} + (295563045959874253538770722320a^{2} + 512015996745575499700474354760a + 176191736689103697938435709040 )x^{4} + (235572158357676910032032367392a^{2} - 81349501067717090082804289504a - 156305442351314571018763476448 )x^{3} + (-255823069453741310136877060384a^{2} - 612600300317334113763053461248a - 52760653378181449294227006896 )x^{2} + (-513141800464504729166640626208a^{2} - 506974631807443847193611040528a + 399957901177428940274719408576 )x + 490101142137645948061702692636a^{2} - 318681372356366065278229233404a - 115285795872518894589613249428 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary