← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (32332071623033390200629798896a^{2} - 186742826677161404690941840712a - 251154447307565988622873157376 )x^{47} + (307256841635091517661603246960a^{2} - 320905442753986618859459739400a - 104165331345766163209674215596 )x^{46} + (-251903087363165888184755751952a^{2} + 99326449830195310089194090656a + 443929424914326456849170059608 )x^{45} + (-415238631693698797359056254828a^{2} - 196221622042383730224334271600a + 148028143129879397036464952884 )x^{44} + (490236316188893823086520151768a^{2} + 282437964846055542454658829512a - 439064377483971782760344212296 )x^{43} + (-117849675098489801490074209048a^{2} + 525142787459191828157618259932a + 580704098351534322817581794984 )x^{42} + (410689642573398273927587356296a^{2} + 491677076402254901696341931832a + 61965341390635985750181346336 )x^{41} + (-165261077071733915815089776772a^{2} - 385812505006299925595736875776a + 550201839552317756044882696900 )x^{40} + (612479385105069111277976784720a^{2} - 429444105160310292136725113792a - 417082754397510121957562048960 )x^{39} + (368587264428065651564598347936a^{2} + 328806667403989364155250610212a + 228473121874947530591667947524 )x^{38} + (120627378047403514937772518560a^{2} + 116874985064873465032194972544a + 354330532966395308980612441224 )x^{37} + (236888400066373075338546409588a^{2} + 513412833740817806006995584468a - 339525356932540069244506123400 )x^{36} + (5010044795654536305254295664a^{2} - 564964475773505214812402899856a + 465206797498335664684064877296 )x^{35} + (-515005277650967846626381546720a^{2} - 29375951699484183315865012864a - 553471140784388105017416941692 )x^{34} + (-510739258709135709025737080944a^{2} - 616119852776904334275069009800a - 62766173335908328827476750104 )x^{33} + (42046054154181606728016453954a^{2} - 331208494686767777051438296914a - 504992350458725163283791013582 )x^{32} + (33718324660502062255622391088a^{2} + 154150852213949460767218459248a + 237974666411586969216435324528 )x^{31} + (-432787147437442924355040616408a^{2} + 109612767927242979034622656896a - 593287441553082534646501580152 )x^{30} + (128649184593094811879217010424a^{2} - 149993048561508983456100982712a + 82483749365034109811341919032 )x^{29} + (-284132367801869485124719247660a^{2} + 171448176778816968293174035856a + 101608082331136711873333749808 )x^{28} + (-624509410217105266893382795632a^{2} + 22066297132979833344955912976a + 152541844405485608264580425664 )x^{27} + (334652827029855736482530238504a^{2} + 13199694163406496884352097720a - 630294402809117844589911121320 )x^{26} + (-490494197434440025183493115432a^{2} - 604083345510579787034312718896a - 75906160734169998136988947680 )x^{25} + (419803039185777554249407472576a^{2} - 57271170496344256415586314392a - 253895354446993526477537899136 )x^{24} + (288319881740122238877745452512a^{2} - 425159343690537513652644340800a + 585600552821770776361081724576 )x^{23} + (382514266412063095121723796840a^{2} - 333095995133706661418858091488a + 114738961602388973539273364792 )x^{22} + (-389354735533805599408586950704a^{2} - 124271580524669071142934666112a - 376254626736195746383743533184 )x^{21} + (327035449134066747939051489280a^{2} + 217972803403709497274382099616a - 585971541052506416652210883584 )x^{20} + (116804759179771837379345178512a^{2} + 243692052823856726127046550704a + 153076266516023231732605137024 )x^{19} + (-518436729178846340557996093352a^{2} - 622940268468425801644588676344a + 529579391088637442110669239760 )x^{18} + (96287997503934294571245566272a^{2} + 108973503290545044016811573296a + 529167129463138242152251982816 )x^{17} + (469477008152709636214543861136a^{2} + 189709238703890661970441404940a + 428657217647586175498016568028 )x^{16} + (-241124000515890614424981763296a^{2} - 251561583425862545229555380480a - 296510792409048046386817743936 )x^{15} + (-120966764513848052856496629728a^{2} - 57936996480231638340062650480a + 440662512135289617166432535360 )x^{14} + (326842801210247619468852243856a^{2} - 465513147666713458169456794432a - 169287167625199667863815545808 )x^{13} + (-325499585358124381149681632192a^{2} - 540814571527014398104717603992a - 408408725502240923008495409440 )x^{12} + (-129702314118142596830607523008a^{2} + 536724891777443285812104015552a - 319962376151004302968087310432 )x^{11} + (-64052705832509075895465485336a^{2} + 480689121008015243981386960240a - 86755505367200847464649433976 )x^{10} + (492639077493993061254364138352a^{2} - 247434223139721073323638886944a + 408149983449136514131107299024 )x^{9} + (107083824661852207182064100412a^{2} - 621068828204331307622820898684a - 378656942357323551443727373784 )x^{8} + (-565157927064795017676996311008a^{2} - 509502504713255457800256469408a + 542879787738608166753434921600 )x^{7} + (294685123169345049557996992832a^{2} - 163004482817738427803974548496a + 265980563623953742106801386880 )x^{6} + (-5664803479917665807292008032a^{2} + 503379154572526169295096447744a - 468314263669940689615084939488 )x^{5} + (301916264857092930125970270400a^{2} + 342206037590892234417416911352a + 603298616951474670708147190016 )x^{4} + (-343171285590718524952766560160a^{2} - 591608286743746196456125351008a - 273176482445281372058025476128 )x^{3} + (533467720244828872566149687552a^{2} + 591316932184404895485998630656a - 626041956816751250779301411200 )x^{2} + (22887928180455959796596288544a^{2} - 210568818928609885418855137712a - 474794315780939412127249100128 )x - 189416780620027944425757248836a^{2} + 507183076333703338280875804564a - 239544946156504982430151994884 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary