← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (32332071623033390200629798896a^{2} - 186742826677161404690941840712a - 251154447307565988622873157376 )x^{47} + (-395901408428631594786414250248a^{2} - 263277586879657509080459319880a - 225551521187776909954273605500 )x^{46} + (40627099010247905517913655984a^{2} - 353611002370649021366892294416a - 99664207483815775166637650568 )x^{45} + (436355559149106652534130181516a^{2} + 490805655988536425304942999360a + 545093472517541159814089479796 )x^{44} + (72124702211304581125753578200a^{2} - 365158907786542817816263236936a + 24473478205127761474833770184 )x^{43} + (-492466187899492908165506062632a^{2} - 304984794175486179766894969868a - 9741100437592069469109899384 )x^{42} + (571114383982179839504537737832a^{2} + 63542135347224647168948179016a - 539814753864422272827417109736 )x^{41} + (612025603776741004381223700704a^{2} - 93915217135770318994555534736a - 578310247486113473197667317004 )x^{40} + (-156026830137510861048926297072a^{2} + 548671744826216156736714143712a + 424058394617563240745835528064 )x^{39} + (70394487664751327643829216496a^{2} - 158957988646521289077086095340a + 429984634296368673695690921732 )x^{38} + (-378086662378954651535749161824a^{2} - 227911904792990651466257279984a - 365246385529584769959784469080 )x^{37} + (-315172751082837623427274936092a^{2} - 434219087777351936418392449316a + 353273645035644215122530995592 )x^{36} + (-335015923553145620702590109584a^{2} + 331932839339745309999673139024a + 511144782209554204526478250128 )x^{35} + (387510667235973127862735153296a^{2} - 319122095861427335547067798640a - 559933952665198234474156474548 )x^{34} + (142015128435543738146530117248a^{2} + 137843753916049880111883529800a - 118813745769863332970351913496 )x^{33} + (-188714914067119421495035569846a^{2} + 347542723832485485155520046522a + 525748055082143166954176177274 )x^{32} + (30278147643037740836303358736a^{2} - 21962754120698696524409060784a - 121199311001550872117476686896 )x^{31} + (-622283808318011330772309294296a^{2} + 262994865023701114579500882320a - 87931503298425522937564828968 )x^{30} + (-211487213053844581091933641448a^{2} + 445443992961821747433282183368a - 477358199182770223264865243912 )x^{29} + (257254824020019580052107084a^{2} + 48896498957918664617911948520a - 86414011486468509798094930512 )x^{28} + (541400791696201941226535530032a^{2} + 114543034461321051669586525232a + 278607690411057947801145469760 )x^{27} + (81292178070542081122647429240a^{2} - 473592756374768490997443763544a + 516124867959705098336908263976 )x^{26} + (232514042210613372968354909896a^{2} - 154721180424130413812108176912a + 385645101395523428746556815056 )x^{25} + (-343604529512161383279972421920a^{2} - 412995515431479209253704491256a + 35737524793683753638627682736 )x^{24} + (-380240926338141033384700585056a^{2} + 194227045458399407041014259424a + 19772441860183424808737983232 )x^{23} + (466438997849551724438907472536a^{2} - 55044200257771733981340172352a + 267700042029647872182874262392 )x^{22} + (174752500604656371277185670864a^{2} + 163922173891000302707764044928a + 358703531235969653941541596640 )x^{21} + (-570161800967843340011554036552a^{2} + 538115594817908294684972533592a - 358566607950092777882803677408 )x^{20} + (472646518936291521901726544752a^{2} - 373277675659396050766316450896a - 37212139814310707198949760864 )x^{19} + (109816362482806878764998667032a^{2} - 485065625494404794911177416216a - 430019254319163432230471170096 )x^{18} + (514689046040180308939297522624a^{2} + 35207525820533615228265592176a - 124473979482709574982078887424 )x^{17} + (-413946120842520870917957846096a^{2} - 559105221515630040518581172716a + 338472132997432612477496179756 )x^{16} + (-444679974181540832662461948256a^{2} + 594158043428555775559713963648a + 590797573821398431065455822784 )x^{15} + (-422257317344413582894311788032a^{2} + 150913148366125495196798319024a + 450182827338832427694054255488 )x^{14} + (-51534896395882467738415070480a^{2} + 40559793906774828364743542496a - 454252736865830963991275442448 )x^{13} + (436673996138407558243546270992a^{2} - 404799675041487186763604040088a - 311346307485551213579578901760 )x^{12} + (232795848871020412394723251104a^{2} - 445058804064119854010356801728a + 220139571911004087824443239168 )x^{11} + (315911368517060332216533445160a^{2} - 598960881391514977628861616432a + 607602752751047245557334819832 )x^{10} + (209229433263640211085973599376a^{2} + 20732375963247337149239528128a - 521788156947200002412065097328 )x^{9} + (-613818037322016104394146139476a^{2} - 579922974408744719649832004444a + 85213631636879635567172257096 )x^{8} + (-477709153434185032636463682912a^{2} - 543047870645825605415382507424a - 558339594198193976098812764544 )x^{7} + (-632684507362791564588595534336a^{2} - 460975042766334518695541849648a - 143887867459649921989263699328 )x^{6} + (186443757295166708314784014560a^{2} - 224586278435633825299088389888a + 541233812270773561890368192000 )x^{5} + (-34393918192393724246005007312a^{2} + 57507111351333643769654106360a + 304366605082800349466347390768 )x^{4} + (-147822897043372202310498177824a^{2} + 484711277361757715948318917280a + 145261613284669101294595099232 )x^{3} + (-475761826392388295337789069408a^{2} + 198680468694834509584863266512a - 208970537642061817555488745008 )x^{2} + (220896991353954750153750003808a^{2} + 78852432601958437021211777104a - 416873885763040389979673676736 )x - 249000654884866493508967171364a^{2} + 42402612715846803157578049524a + 41960303429681129429223929868 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary