← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (32332071623033390200629798896a^{2} - 186742826677161404690941840712a - 251154447307565988622873157376 )x^{47} + (290748459500789467439755391568a^{2} - 559297171223081982318211919792a - 305891664930087068138543783244 )x^{46} + (543580070530297388949343697648a^{2} + 492436081153610607698181758144a + 41589735683342064810301436488 )x^{45} + (-185999241796486309773155365172a^{2} + 352114512954072198103402338064a + 56972974615041196426400744804 )x^{44} + (-229484621619493052659265326616a^{2} + 487978701272893535645337792888a + 141290465559469622114335978488 )x^{43} + (-119732535827892496672363565984a^{2} + 69285866335633044106593781284a - 607355694005480219564216841472 )x^{42} + (-399943634586069514992542075120a^{2} - 129627525852740945978494335968a + 281329314201577791524238153704 )x^{41} + (-546076280551366227432501941472a^{2} + 413050457932930402676153787104a - 157846348375137270382784741928 )x^{40} + (337837648507211077405748905776a^{2} + 379828360174446177148058007328a - 7300358089519740748354218656 )x^{39} + (-190033006486602594544698945872a^{2} + 509435793394969569825869198260a + 403752594150836489745013613668 )x^{38} + (70361905793222406248268570368a^{2} + 469377167807645405809749794528a + 229477953910275176004755202488 )x^{37} + (-268959483190341744092001589476a^{2} - 310638473885804330288584610868a + 63543029143816515843333062528 )x^{36} + (130138599973587628663280390512a^{2} - 617610904814961262475476998512a - 81034215089876028315764658096 )x^{35} + (435800932542061502519288843552a^{2} + 55563104900449208618449936128a + 73167334304547651522086091908 )x^{34} + (-137785760320009067545866686560a^{2} - 579919131575822320238133369480a - 285132535830234644272040307720 )x^{33} + (18307802695974557147812348750a^{2} - 275499382802863208045207562998a - 623936299670438294201297349286 )x^{32} + (-515243314444687088142430630512a^{2} + 33820388839044320488971998640a - 267570796988973038422166002288 )x^{31} + (252211653178673843131339213320a^{2} - 266688829282021822934119736512a - 530451882712015479469109921000 )x^{30} + (-384139202746116800034682738984a^{2} - 279970178120755400972949751928a - 467010112343114076675471605352 )x^{29} + (71687578582134566683403655692a^{2} - 155060665026991859703060222552a - 315650431622594713983634140128 )x^{28} + (-608146640793526001261577497360a^{2} + 241674600141660278392799514704a + 600533385877633805131640582880 )x^{27} + (468479129613593134788190773256a^{2} - 312128435456435738000236431640a + 368843490089135084667433072120 )x^{26} + (436124890606914865130839512776a^{2} - 136693725808823077173709342720a + 140942246051445649386114646528 )x^{25} + (261426733082336006098035307232a^{2} + 437264832801105170087538274496a + 157780030692624977526800365576 )x^{24} + (-482288578760299860649651929664a^{2} + 47415014310894603745320063424a + 119245980679525252746569943104 )x^{23} + (29697457083651269580660207432a^{2} - 295834432901392016705707983920a - 589771328623797194304395411960 )x^{22} + (254308056638447490481115016784a^{2} - 464444790392721266766304375616a - 381229690350961488989226473024 )x^{21} + (-527157845864387618340340094240a^{2} - 541761894310691769223999402696a - 239616765914494098687663042736 )x^{20} + (-25331536845738690873897235568a^{2} + 22059590613286475465139626864a + 341472366107431809157823436800 )x^{19} + (-298087669649482511268016137304a^{2} - 394768058746954789754773689992a + 591127212860925103871436354128 )x^{18} + (-509509263741386755719861714112a^{2} - 183671964584130931048594492816a + 18098462031754613709224169696 )x^{17} + (-66860035801193713913412263912a^{2} - 35004284917814146807237986188a + 500717950206796275836363583892 )x^{16} + (557804653608381037431685481184a^{2} + 87560655340845347843674806144a + 25543626040756351132863544704 )x^{15} + (-176994709343200856355904180640a^{2} - 52378961085417345636862263696a - 568124243996613058820818280736 )x^{14} + (-3783963429470535487787635248a^{2} - 360323084712237625965798025536a - 483957964493600740088259758224 )x^{13} + (-2483904710754509801093956720a^{2} + 211388690463291688104413368312a - 54483191985401035352454885680 )x^{12} + (66673452683669919189508467200a^{2} + 461943894851158814794276381856a + 449291506258599237584307686592 )x^{11} + (216858167589756342696397778040a^{2} + 72386053637117666555363932416a - 169207808228195004865852970312 )x^{10} + (48228590295855911705144046416a^{2} + 276797478202056883915349075520a + 158767301589514962781970842288 )x^{9} + (-569266407668621747428169126660a^{2} + 311423952492709639162846490948a + 184833430555154342721257967016 )x^{8} + (-368356707186343472429253258784a^{2} + 583591616324555650383846851936a + 302374663416824674907680784512 )x^{7} + (-165938388748345138857177432672a^{2} - 180682529324848721030802452560a + 116637905255798543866371985504 )x^{6} + (-16971180177986347759691055520a^{2} - 510791552834946541337577413472a + 327101340820353590300622817984 )x^{5} + (-427845282335414989770529134304a^{2} + 114195089347870235251283395720a - 168066778490983046004331831328 )x^{4} + (-258754723201833594711756561504a^{2} + 229769418442704533083085666208a - 364143137329902665632468949216 )x^{3} + (-536753168005225752332645917216a^{2} - 124553025834726936551355145168a + 52058608116831045017043660608 )x^{2} + (-143225795904591498061424992736a^{2} + 257616353898109482569968367152a - 283862530157444346207000138976 )x + 54614113187668833712148130524a^{2} - 551393417294831292102045485948a + 578942518338702212889903032764 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary