← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (66237302477994769211617313816a^{2} - 108915860412759854289238002528a + 250941729930803771464417471248 )x^{47} + (415451563865776011527875059264a^{2} + 265099435524129774405481081004a + 85328740445694180226184745488 )x^{46} + (-567785385048752358710685528448a^{2} + 430206389120586221887670974640a - 101557053332103650877345953200 )x^{45} + (118649991008534769230355226784a^{2} + 484700481083188207814450166888a + 85586389622248503525989313440 )x^{44} + (595963377899368232491159402512a^{2} + 153725838052905585042596681776a + 350463992851517904970060991600 )x^{43} + (472856496674559263866374596428a^{2} - 41043260222072210616514259772a - 623928588782841112926417609356 )x^{42} + (-276037063808851713523010627640a^{2} - 443591374456557351567204152864a - 583953379807025539486981134504 )x^{41} + (188952155365704501412312303756a^{2} - 367195681331142134825827175996a - 259772046877360802243202040360 )x^{40} + (-540464328745087481297524483792a^{2} + 514482909621768407195631559440a + 76320696524970079737610157440 )x^{39} + (-482418392409585245116425650840a^{2} - 492508990612846797363376014424a + 77849369505921635877229355144 )x^{38} + (-12888834747869478653106355056a^{2} + 223614413272996556797569774912a - 561448122588073717088339118384 )x^{37} + (-166207071211762057567937692208a^{2} + 221480617509091680564850675700a + 317727386034352000196148965576 )x^{36} + (-104430982504008130403827440384a^{2} + 457467840876723722581078265088a + 339879542532454681346206793344 )x^{35} + (277093288601772830014783300120a^{2} - 433369103806417797732904884424a + 507675159587495093907171014020 )x^{34} + (465301890215374800847941684656a^{2} + 185497398896994479043795283928a + 241996938159454401957520377704 )x^{33} + (-424421435686235786456787932256a^{2} + 498238090450267261597170560854a + 169890122168972066594842706696 )x^{32} + (-148762160155633629566538544720a^{2} + 611640494457878554011806889584a - 300584602986892217068746985216 )x^{31} + (-506620944427673443366833295832a^{2} + 149649419176420961164926718160a + 576286844631344350158295017136 )x^{30} + (-421756954670952729044807628912a^{2} - 408740522336211625284309577880a + 362543974970256366482764782424 )x^{29} + (491949572123065449394888608692a^{2} - 412522706260143463470940196100a - 541374578230900281277036708488 )x^{28} + (-308694856733667689407817251184a^{2} + 257885905118869200977115528896a - 104631724984319831736176042576 )x^{27} + (-544790536908167816893264154024a^{2} + 631268818027080278511029817704a - 294488128209573237424989856424 )x^{26} + (-324913774201929140292344171328a^{2} + 321217541895910976855158639952a - 243815498707439616885754257184 )x^{25} + (-162443589582109438315988368308a^{2} - 578477440116189187633572308380a - 389997822839050051959512344732 )x^{24} + (-451484024854783885246575561280a^{2} - 279045074664632190347103666464a - 548283080956132707548738224464 )x^{23} + (-292515292608644876465082983552a^{2} + 514032568969719948386746665448a + 65012474942864211488727745648 )x^{22} + (475329336825593574153163781024a^{2} - 538113938472206413604656746400a + 349503686205108866717897348640 )x^{21} + (253041138451758732779343450808a^{2} - 252937479185777311626728485784a - 32745054374346682139474814560 )x^{20} + (228436246983334834026484839968a^{2} + 8124472824117044226256877568a - 172671733624880148365630532640 )x^{19} + (287112374693722905435486347992a^{2} - 244811599059048249113880445056a - 385732602686914431540475585432 )x^{18} + (81787371088354739014130433040a^{2} + 395628346807925073428323540048a - 237203936356549413004101290416 )x^{17} + (-243829048712549401618857991580a^{2} - 255916146681982072256885537976a - 602907120533948920944328575560 )x^{16} + (-193789774576085888039643767264a^{2} - 538505883397864082934150267296a - 430024991833332181377766039744 )x^{15} + (21867727214699021435736957320a^{2} + 582422144533667986662073912680a + 475505231091882661566313634992 )x^{14} + (157261661124838886116427549440a^{2} - 90642710489960594982711541376a - 340267435625213955394194675408 )x^{13} + (-383073435373475264041006840456a^{2} - 120722360852146475017329724288a + 363586973121682058804923260936 )x^{12} + (541606636391588716295510871104a^{2} - 325202611623725033052952288000a - 549122056626800007273117435968 )x^{11} + (126682019094993212278657725088a^{2} + 467949737660652307204932346208a + 464858918415199977222980206312 )x^{10} + (-455551919214416574338747954976a^{2} + 151066510931425428133764647824a + 320806320576116566882885303856 )x^{9} + (-622210598979154194691764449664a^{2} - 352463891416459220644407019012a - 605513342732703107174861546040 )x^{8} + (345786161053235800375678306816a^{2} - 442856445720974804763006009504a + 330759323550462116506650916608 )x^{7} + (-153703134107890072481279523104a^{2} - 135203153271218939096797943200a + 82218932511187633825977570112 )x^{6} + (-313356914507245128351676468016a^{2} + 246476986947177521250134047728a + 171500072998555359131262281840 )x^{5} + (342357855091930253363741281288a^{2} + 238353836799243586516199023640a - 121585680716351289072575048896 )x^{4} + (494485617278515349250417774944a^{2} + 331395643716246636084114080896a - 397336043426147039991464501728 )x^{3} + (236459691079097303322266972704a^{2} + 494091007334306999449322848896a - 347632885542409364656881896128 )x^{2} + (-518413465065367580920653700544a^{2} - 145020338745034034845871124320a + 123401773354463853362327294752 )x - 533224218368140803856421280680a^{2} + 241324922788763243495454929928a + 408337023322226478409793890532 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary