← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (66237302477994769211617313816a^{2} - 108915860412759854289238002528a + 250941729930803771464417471248 )x^{47} + (-318128450758924647899837631744a^{2} + 189902247203879611728403547916a - 422795667971943943059610766952 )x^{46} + (34634858765043716778429092944a^{2} + 178353829830646985174565259088a - 551124626698267768670411471440 )x^{45} + (430025757366629475256946297576a^{2} - 44442483942624487799111745104a - 221591256509055688143502595640 )x^{44} + (-364012311155575804117924403760a^{2} + 466553032194171956220052303056a - 85088625949171351809132778560 )x^{43} + (-324674105890653357261891490060a^{2} + 232739999275636569688395542844a + 438241757220876452596813246364 )x^{42} + (-158138898372005317908740812240a^{2} - 115741637457957519042778119432a - 448552382093019492210854174976 )x^{41} + (-549028192616617781942973526496a^{2} + 236822069379728458099441047928a + 36070249489883561085834303884 )x^{40} + (-310771820197942451702101326320a^{2} - 562017198609642393412635878608a - 146840904456272201569812933344 )x^{39} + (-229273940101261054297222270040a^{2} + 543362326281399984260310971376a + 304105994331539169002222929816 )x^{38} + (235175538576089939448640964304a^{2} + 404105035560756627781578998848a - 195809286770182194863460082160 )x^{37} + (-7881223408036481832314945592a^{2} + 357127333536542920730715604780a + 245716675343745665594815603304 )x^{36} + (602324233095531455831809394912a^{2} + 508656324399058769363733324400a + 231155564181737288195729448544 )x^{35} + (-369497778915786693716589478448a^{2} + 421315429290899391808972782872a - 562161918912365121198814744996 )x^{34} + (-390479685341776543248609605264a^{2} + 471730588844403545268652504552a + 164338219109757484065757595528 )x^{33} + (-116675356275558575529606340884a^{2} + 359613655459894500711996642586a + 283729360190220928517342043604 )x^{32} + (-165206434018576692246952163472a^{2} - 554789975525503427060409134928a + 65195007647047252723353104480 )x^{31} + (-374758049539000771847452517304a^{2} - 28416257877087340787230984416a + 445566331449395702850921374288 )x^{30} + (-494669954041678241388205957296a^{2} + 284727299339818364627101144040a + 270381776606718991539200005816 )x^{29} + (-68153142715029001587989339068a^{2} - 607648038761799020254038591420a - 484577878033868020898949203104 )x^{28} + (-366736697476775623478773882448a^{2} + 196234151479932467235632454848a + 183391538672111466250248562576 )x^{27} + (128087328502816243170934843888a^{2} - 107543648067065173548774521656a + 25093178111002506822397652784 )x^{26} + (218967812229758139790986969552a^{2} + 260487378133734265923050408528a + 361383675045116238831276822880 )x^{25} + (-622244496021727098173788695372a^{2} - 496262501432852243364355569356a - 491978873476654126791323333140 )x^{24} + (-145912046653312699016284534816a^{2} + 114967533013438123143474370336a + 355524545944977192444134278544 )x^{23} + (-166730427140027250539568928896a^{2} + 360077603095290877223262965592a + 582702457475589077783193539024 )x^{22} + (-461700766716208248263024186656a^{2} - 173375929892626984297740154496a + 204677449475873266629599657248 )x^{21} + (-384297471841746660158870855712a^{2} - 220240193284488508947233242856a - 327940179861754506254033642128 )x^{20} + (-217957939761594532652271588800a^{2} + 101622568621170983489474654720a + 159541980676460828318786564480 )x^{19} + (-426859029397065619632494731736a^{2} - 281296451902826622468861969120a + 68528385716771914944168924728 )x^{18} + (-256899719662776514999555450416a^{2} + 266286291846150789052408148144a + 290312631075364097562638354720 )x^{17} + (492576227525561133071501547516a^{2} - 548247850706156890893677758528a + 1610847618367483359983891984 )x^{16} + (588334629839769048311197402720a^{2} - 267734772384179721999524426016a - 613566692843168380004562290240 )x^{15} + (152964769979624073703025805928a^{2} + 185887236156361020494461299752a + 186980653986290203489256684304 )x^{14} + (631911011071409907764725684224a^{2} + 497500956706469306160472700832a - 451230050535272613618268075856 )x^{13} + (-128869504484067456363484330840a^{2} + 270986472932060029453235484768a + 332162686774407698908263124136 )x^{12} + (543244516757981259912752604160a^{2} - 330602517698975669846741414880a + 577661857960283464573068040608 )x^{11} + (445330705048669568837037995168a^{2} - 178601447402826763179888513264a - 404629235771706445631573456968 )x^{10} + (-325282966669855448561152505568a^{2} + 43169445762170546417238520176a + 127889786330073806425646859664 )x^{9} + (274696600314348389761090758144a^{2} - 361707142823813563767468787044a + 313996547327811100149114103672 )x^{8} + (-391987644866210697223964749952a^{2} - 76668657654368535423052326752a + 392749920922060482403693593024 )x^{7} + (380506204118713708273151529280a^{2} + 194209105022942795678989072096a - 402035756205179558886536090240 )x^{6} + (267149797373156505431870461904a^{2} + 16672753231258056668243488816a - 309608730893600740016463416944 )x^{5} + (-416695981595194759104745513048a^{2} - 215257373467469206586675841032a - 121935880145765711435077092528 )x^{4} + (364782773823870237797315331296a^{2} - 135149580939189219830105762816a - 155408003288253969235557375456 )x^{3} + (-4791579334173232657566748832a^{2} - 216202546589797801531144998688a + 545137707840860350696905674272 )x^{2} + (50886600842254982007763167296a^{2} + 624032109150668872421786261856a - 26641359993343061407207317280 )x + 197639020760090110071104048408a^{2} + 170827742930548442038610882600a - 195272510513686679286864459964 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary