← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (66237302477994769211617313816a^{2} - 108915860412759854289238002528a + 250941729930803771464417471248 )x^{47} + (95231382454045394996586401928a^{2} + 34579925638488163749128612548a + 421781813184423254822017240064 )x^{46} + (-613133920220003950442681308720a^{2} + 334013443723996572127514619440a - 262978243372575186706642645696 )x^{45} + (20531105506936130703908644584a^{2} + 137831494350654590662114467632a + 45751804365824456606929364144 )x^{44} + (-564803625935043886168005817216a^{2} + 436650377588341863687871691024a - 139678588369651144223456095648 )x^{43} + (134071944440086667480602062660a^{2} + 480061710052441131542709573380a + 329076234704685976264015592692 )x^{42} + (-161978597003039086622258320224a^{2} - 274590378554223767534820032512a + 73682388684163922892386112336 )x^{41} + (-456206386948574806427138332072a^{2} + 239388659299202326750222284064a + 258475704606591568919040703560 )x^{40} + (35000275023604830415475734448a^{2} + 451005562628614195176593755248a - 341914973522295869921861794208 )x^{39} + (550828126134386939384676367016a^{2} - 476003230177745777465960562224a - 543800498286508267398891654368 )x^{38} + (-513256857047088635633160007056a^{2} + 145956902231016118794444903056a + 465677722115798329346341734560 )x^{37} + (-295966290381632137903765585984a^{2} + 548200234763528242886892246028a - 93096975507516666877039755008 )x^{36} + (-461679747344888151839119609792a^{2} + 160755801759320392923505721632a + 190004509671724033012673476624 )x^{35} + (-326218559506063772113016122008a^{2} + 537521457144012127503117276144a - 75494932210738248980852878436 )x^{34} + (625253469307761827460986358848a^{2} - 475533725977378922866812025864a + 254697864310100844160033571704 )x^{33} + (121394630744423945496471107256a^{2} - 419282883016628673305898580570a - 581059088820378174827082337652 )x^{32} + (-593807699159483372757291558000a^{2} - 82160178706187612183676720656a + 375600172854287263591394541696 )x^{31} + (-139835135755829972797341169608a^{2} + 236540844853999293230377793600a - 253459597098542566982267765328 )x^{30} + (327280564369814988761187377776a^{2} - 217051732631251436996468198904a + 363676407627786016797242681784 )x^{29} + (-622216909411422235027396623324a^{2} - 355986431393440520452659193252a - 611431096836119320836639302720 )x^{28} + (-371715094350397939606765491952a^{2} - 6051147919566447682999548576a - 24459696988585723740798939056 )x^{27} + (-619638382933688922608306101160a^{2} + 321811793152032281124998793304a + 170959089241121844186414249808 )x^{26} + (438395352648850622360415592928a^{2} - 407233661679295065310209452960a - 497478725806058236504512063920 )x^{25} + (-117279828062166903694804872364a^{2} - 155238607225128509659134771108a - 153234746307721679524894464436 )x^{24} + (528981387415333524547503076736a^{2} + 386485732614073620003349360960a + 12445938079626183184343857328 )x^{23} + (522003022747832771883745798448a^{2} + 370953307060498755783175938024a - 531320160972960889199164851984 )x^{22} + (-60452629231968541691286063104a^{2} + 101403963050959957236840200224a - 186993083797636137997701422656 )x^{21} + (466167340929597479231099221832a^{2} + 103382636980589887197621974864a - 593020599070799097243092311872 )x^{20} + (-256426712259131078748785984640a^{2} + 594957287040442991003248897344a + 542378943252641494503220742144 )x^{19} + (-295452347932986677733592236280a^{2} + 602629749972319060102868687584a - 409552556995706013549592498600 )x^{18} + (-15304490300835944441860809104a^{2} + 98226715305910961378746330336a - 220811805150115714665367318096 )x^{17} + (1594971283779315550846678444a^{2} + 492784659218437289482868072800a + 53078395420610968185777946680 )x^{16} + (230053053003388095464585798560a^{2} + 499971430974049534924196559840a - 244366769819197002010086898368 )x^{15} + (178895942560407165271272932584a^{2} - 480704952317410434818646824024a + 523305695661862031793277528912 )x^{14} + (570728709086945934047374602176a^{2} - 214224918136282022503995105696a + 93087731113278181066650523664 )x^{13} + (-449106969401469839084017304584a^{2} + 125157114331004612839762673280a + 355538680664372573163287914632 )x^{12} + (408186429759637589063251029152a^{2} - 566118169707056397638072042304a - 419236667749015780754570686336 )x^{11} + (55127249230133171414500859344a^{2} - 548874365741696746608616095184a - 85724690263464789463029213112 )x^{10} + (64089793531390562910688886816a^{2} - 478807940700832911130929630640a + 581679685708879877768318113488 )x^{9} + (-493785398560111913689076686944a^{2} - 552456434032933851895790231108a - 65743764751198584859216178136 )x^{8} + (514307284482556068479279547712a^{2} - 567520664921627035218382370528a + 514721504843102231122754371904 )x^{7} + (367532928005447001003898398368a^{2} + 350826603612867202422439512736a - 206423381290424592485338932704 )x^{6} + (-184247791499038871404622766288a^{2} + 491126141473095544366293987376a + 276883316856104509098845886640 )x^{5} + (-226777550480725227127127049752a^{2} - 232097549842968154765484334712a - 169136899026711028920442161280 )x^{4} + (152796718104085311798695921696a^{2} + 633417173387450341340923242752a + 232281690791290768475602662816 )x^{3} + (-208068334464383597662848063904a^{2} - 477448508326686052716341286336a - 387833015512394546016110051520 )x^{2} + (-501880656562581346536821189440a^{2} - 404826211918572218146503192480a + 16891835801178955109659166560 )x - 37554880426831861551976387384a^{2} + 211970052704546921242021544840a + 362623158888693520790909715524 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary