← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (66237302477994769211617313816a^{2} - 108915860412759854289238002528a + 250941729930803771464417471248 )x^{47} + (576706300030928926589380899368a^{2} - 162605437868662021748521026540a + 539272470145273420204920586472 )x^{46} + (-317964262263816681027219210912a^{2} - 195322974345304314921559131536a - 539556821251029544694919553728 )x^{45} + (434363901127519077438784585952a^{2} + 403734975827828090098309981224a - 167643736874865829826899715736 )x^{44} + (-254532957841689563960836887296a^{2} + 209268887312690917359104991856a + 208988926826269967981022772688 )x^{43} + (-303075174261869243425631497764a^{2} + 34706322477813157148310278892a - 186558707525946595136773485604 )x^{42} + (405738651154267899755591602520a^{2} - 616813168740991749109865172424a - 19999523924230167176584802760 )x^{41} + (209065228749976687029573957572a^{2} - 224548399682186271617352722676a - 559601681759758150043156798004 )x^{40} + (-123586794146052883831893772016a^{2} - 298837556839049413461160465584a + 142880466264573086283805979712 )x^{39} + (412858568298517783798266466072a^{2} - 539070427822072748083672421512a - 537256471999307596206263300432 )x^{38} + (492776050313575125330461250736a^{2} - 70187868341433345955285442544a + 259332821459531332601139823968 )x^{37} + (306948066687152272655783593352a^{2} + 55748818161629757770739537172a - 579380723699962010576777946400 )x^{36} + (-446989364885415557727461499488a^{2} - 90620052961715432421331817488a - 492041547638283897221761620336 )x^{35} + (-202602569882216738933090968976a^{2} - 479481495345672261830341696816a - 510280136728406766255110173740 )x^{34} + (416495523055315294711816197408a^{2} + 353100053642486398892488124712a - 170709191311955634791043254920 )x^{33} + (-257743786878822715464170478140a^{2} - 547420924841360267859942309894a - 65121178161222039725748232864 )x^{32} + (405766364864874605935114542992a^{2} - 439269238182635742779424642832a + 489043122635517212342557716384 )x^{31} + (-375872485652623987025012840968a^{2} - 214761425027444376065820415440a - 262599507388162773226029079568 )x^{30} + (124138383549707922640419006000a^{2} + 16734173027198188807472929608a - 90232880835607297095979190056 )x^{29} + (-326004556663577934544261083036a^{2} - 466277831496348310186391786700a - 141133510495754964179667469784 )x^{28} + (-259146554292933275326936711504a^{2} + 342937808025528561355838259104a - 452820580492341734949738701200 )x^{27} + (-4561203830648316466884422352a^{2} - 388992813339473240378143133656a + 394766083806656732372525849592 )x^{26} + (-491673778537776225867750787760a^{2} + 165812317788405117716935132960a + 175927955784272859083153252368 )x^{25} + (631338517730704868504759684684a^{2} + 189287199211379872482333272588a - 101973068107323395602503331852 )x^{24} + (-173016042392906850452544561120a^{2} + 92410368639235263375048597312a + 441447674619327925612255492240 )x^{23} + (-243425477372619817206403081840a^{2} - 434420555998759816560438805032a + 121475097089968757958619124656 )x^{22} + (-535464447321846283215786390912a^{2} - 495500063298520459498487363712a - 586217875234640749739965400192 )x^{21} + (314792712533373551006025683200a^{2} + 532883586931216856516900279456a - 556591089121016096144913653456 )x^{20} + (-156236801492071763712699011168a^{2} - 36395955021471357356793343168a + 627101946903995799292287012320 )x^{19} + (193675412640449213441142187000a^{2} - 132514252721582792300230902688a + 21040760923409186530656834568 )x^{18} + (-355751275574944848972491733648a^{2} - 194925605351287794648330040608a - 607164260621448196160192601376 )x^{17} + (415191833129383698117903534148a^{2} - 306571708665940962607825664888a + 123764604453207867961578756208 )x^{16} + (255356637421732981920920790240a^{2} - 548886445852466983646216782368a + 109388794604839271700652846400 )x^{15} + (439620968373206206647689301640a^{2} - 98287599655345664204300323992a - 347061808259135047932225733200 )x^{14} + (-476068308415382492491758721920a^{2} + 295182813183977234084312346240a - 93588398657072240893502409712 )x^{13} + (492957561133993881492353732872a^{2} + 489682231649794021214763062880a - 490893673592449721844052474712 )x^{12} + (-273820438385334381288028914976a^{2} + 168269001488527000959208662176a - 5981768336378570992950705504 )x^{11} + (512060281168646176725007833072a^{2} + 608334776285776386976908810272a - 22531178600652577188690316424 )x^{10} + (-275934509768586248128017550048a^{2} + 2428670006566599123010437616a - 7049995480432639695443826640 )x^{9} + (-587063557801181465755556680480a^{2} - 532510796446795447771942485060a - 139402349345641089085364279688 )x^{8} + (-391974783627136075618278681408a^{2} + 189517799251806460339123911776a + 103499713587692451377665385216 )x^{7} + (2955641084808848147082412800a^{2} - 617666423923133688512110974752a + 261253686286196252422277756704 )x^{6} + (411954295722901462698668899760a^{2} + 10757721214477298192326506672a + 256707603973102478431228301648 )x^{5} + (-585005675925213253964465463704a^{2} + 34413789665509176669166650504a + 195685704067619438162248298352 )x^{4} + (579907893680883490959989285408a^{2} + 577397595505389348511313592192a - 306867377533011398378144949344 )x^{3} + (474135623863636188123257717664a^{2} + 100696230363704263380038060000a - 114234980593298401611302674816 )x^{2} + (607017821890029099088550417152a^{2} + 379642423778951165928853190880a + 596185040017338301902416942176 )x + 412623075303607904788927103368a^{2} + 380781672491217991380189432616a + 349202971297214097886873168100 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary