← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (32332071623033390200629798896a^{2} - 186742826677161404690941840712a - 251154447307565988622873157376 )x^{47} + (-292466078547125194358460614768a^{2} - 531848893164778780638373931048a + 368794547626508384511368604364 )x^{46} + (249800435902858414149392925952a^{2} + 234252130164677627073529062048a - 598902134342861898933581842296 )x^{45} + (-404364676514875003154485134164a^{2} + 79546612946599110906975808584a + 587906560677662785558510959044 )x^{44} + (372110482451945113274041666344a^{2} - 587827780382741223704277087432a - 398693793477528009671014578120 )x^{43} + (-450382663413789554808469193192a^{2} + 378267520190580882007065438772a - 429438078399745513844245112408 )x^{42} + (-140510992418715643704838020344a^{2} - 4693576638147170603112173072a + 467035657116742376840935488808 )x^{41} + (315885069060000903246289014528a^{2} - 307636549607960412462887763464a - 614002964668444814813934785012 )x^{40} + (-171759424319922002458016695152a^{2} - 411012778281464133859717987840a - 359754428773021222540887983616 )x^{39} + (350519046771492967292293839536a^{2} + 353424777295557460629618354932a + 276251425862254622502071000916 )x^{38} + (-18448841197784920477672948496a^{2} + 108456376439410947124279100992a + 378301326611062857203322008584 )x^{37} + (473432653657504978443454517996a^{2} + 77704748404159096129702798844a + 224421655214250801644115626160 )x^{36} + (-299966330125548461820422636656a^{2} - 375682548558638264195212287920a - 290065275262714233936887568304 )x^{35} + (-277418234319222362390588350528a^{2} + 591282696339556495736705415480a + 53567092090393374007670178948 )x^{34} + (534793941677546348677258249984a^{2} + 266249220775627197520283773112a + 237301499067632310275359114344 )x^{33} + (578261294302217988514308129946a^{2} + 272368680946901788942826799694a - 437958858674611428244088151474 )x^{32} + (604925482636238099045575998992a^{2} - 623331202329487721416562891376a - 557859873856172510952748301168 )x^{31} + (276636343999129180683239235560a^{2} + 121411640522049148529260377232a - 443870750353366915418876784536 )x^{30} + (-228772977735155897964824208168a^{2} + 428608573746699071295215633160a + 23362930404558328300042812312 )x^{29} + (617152387730116550900488607580a^{2} + 331969395368678676305832351312a + 624695303979285426655957654776 )x^{28} + (3416658424403278293291469168a^{2} + 71162561111497999162639229904a - 117888778692526168327719339840 )x^{27} + (59569205753890067180015651016a^{2} + 73576888835186669850050899112a + 55165406410144100259118478968 )x^{26} + (326797222147846747675507753992a^{2} + 316740058785322252367995120208a + 214046504104242737330493773664 )x^{25} + (139617590948211153440118840488a^{2} - 568118076176316774480886285432a + 514530447207426011928949225696 )x^{24} + (258214826444578674453735051200a^{2} + 190691427999171890343195412480a - 537009685008192790698132701984 )x^{23} + (416188168083070810924940119368a^{2} + 76039143058584862971289708928a + 318729959808855417719740386408 )x^{22} + (633128285445166665062974150352a^{2} + 277267028894740814104196783456a - 426424174195460251378818857408 )x^{21} + (-43687813025992537667037017064a^{2} - 217952902460717334232946653208a + 341282708279291577843865632816 )x^{20} + (576572488330618488547200163824a^{2} - 517448190267328946685040956720a + 542771917804399507873604845696 )x^{19} + (355008298658582837263124864344a^{2} - 119555660225607571554677906152a - 146126128018944828838913305120 )x^{18} + (-564425841547336741055139355808a^{2} - 430374480216654749667791532912a - 328561080093073715752324136480 )x^{17} + (-359493732788822978811350595296a^{2} - 221343051970446958135986496316a + 409329272802670851584150226716 )x^{16} + (-515677437520520698111927047776a^{2} - 82500759937937018157750924352a + 90738081992891557787217013056 )x^{15} + (-307137336698030821706527502976a^{2} - 484551400593217840134493245264a - 140333955365112027444290326592 )x^{14} + (-101399761848824171774197417552a^{2} + 286710734238360246364021552256a - 373181526223262049551199847984 )x^{13} + (57271166150237121039304893776a^{2} + 365703533899595548743108424200a + 542294924953963156244665567040 )x^{12} + (485770282060417127804598297440a^{2} + 162210475586456917565801775936a - 103066875099267593694310358784 )x^{11} + (405957795490250910632125448648a^{2} - 380742261366155881983261339488a + 612390212189896673106101164984 )x^{10} + (530240048664118197406606329712a^{2} - 167979008279415094611453840576a - 281952146148486585870570207888 )x^{9} + (22626578407176855252486608812a^{2} + 50330902081986088667572727268a + 154636901519824795128876860808 )x^{8} + (471080673879777304291934587616a^{2} + 502810151757512949236832567200a + 4088029532047765216691269312 )x^{7} + (204885457880986492932368222016a^{2} - 3061840782959338037173311088a - 478460701329539728740982915072 )x^{6} + (-520031307186525341877747906688a^{2} + 249296717721206971920990133312a - 502609372559587264635572201664 )x^{5} + (-27448464431755749735709827152a^{2} + 311102368681318111770036855800a - 612059973616802797361551654944 )x^{4} + (-432131217571990668352634870560a^{2} - 418408249181672056840341541088a - 361344453689782047338815742752 )x^{3} + (-339195358092144004153106262576a^{2} + 626750970443875740153212288096a - 432318364059596209476268447408 )x^{2} + (17411297359358293686248937376a^{2} + 400267568451797758640042332624a + 80596832325673209195951966848 )x + 607879264504650013201929004860a^{2} + 145343635817302877579245429188a + 414216090545888964339105275772 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary