← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (32332071623033390200629798896a^{2} - 186742826677161404690941840712a - 251154447307565988622873157376 )x^{47} + (-82142631933298981670130842312a^{2} - 436665392607464169509231360160a + 208900725235927610634576549884 )x^{46} + (-250151507753544459684213804288a^{2} - 471236370768825391256683657904a + 540461120274096147545249933240 )x^{45} + (76184020378689279869426882172a^{2} + 212315908791160702258864462424a - 120876703568359275005570853820 )x^{44} + (-375318007824196646482813746472a^{2} - 217397628083435041990234909352a - 520049728205563149055943218520 )x^{43} + (-487509213340232834594544917536a^{2} + 233514492622329879365427908708a + 148201546560046739746343254672 )x^{42} + (125119532726039623178075148128a^{2} + 266892408513058047151279136456a + 247182811111228089394786819848 )x^{41} + (-18901805520339096207571143840a^{2} + 464263460796201156839334815072a + 574182124316938940758185040736 )x^{40} + (-486190863011511237627324218896a^{2} + 89221533625901148375616109632a - 154174679143332380457082181152 )x^{39} + (-484810645278498335721302049680a^{2} - 584409708280609841093283048460a - 112957135269132600150800143884 )x^{38} + (-388823153438989905455284189168a^{2} - 558203661281666144502880143632a - 417746092138836782514540934440 )x^{37} + (204158405487837516859735796740a^{2} + 283594161357227308969533658428a - 271156752900354307152544103064 )x^{36} + (523615484576008466892867386576a^{2} - 418207487994314307241135093776a - 380315460803023489560178405712 )x^{35} + (-562879173734504457828335530400a^{2} - 341881617937174274775963025736a - 696797321747561241939779108 )x^{34} + (-103478511350763507794176458336a^{2} + 517753591415671291524422061224a - 41219069801620523251620120808 )x^{33} + (-626965555432544513519086116930a^{2} - 235121837968984961356609601818a + 315704708711594311184893725486 )x^{32} + (-28424080521245455783134345968a^{2} + 477392974319411633413643535984a + 156228086059676275419926601936 )x^{31} + (207290284197204568009980948296a^{2} - 76692823302236588767983509728a - 511001353277953131711538406552 )x^{30} + (-376369864129307647275379806184a^{2} + 319091442889332469254609922504a - 568302297912722359627496034056 )x^{29} + (240492848610975065028293057436a^{2} - 227072104122431231772658387296a - 291943323934798540913760292696 )x^{28} + (497326218581072304348699135792a^{2} + 45358669181097651732133989744a - 568081399507115668695506099744 )x^{27} + (602104421073851955373672536312a^{2} + 353516824889226541799437747560a + 447667728015795289167954766408 )x^{26} + (606425492416881879638287994504a^{2} - 494771577786657175676538147072a + 138861998171678217582325660176 )x^{25} + (-89708660734009311929146981592a^{2} + 202307040716094022914930431008a + 564417660817309638643645498344 )x^{24} + (-248379613236900547088259745952a^{2} - 25987427135048040806567863904a + 296928874634972100123216900704 )x^{23} + (197252809843705082946995973528a^{2} + 244261993766159908513326692272a + 312928729242399543488358901912 )x^{22} + (-77088614452994359902610737520a^{2} - 633413147437255967263442034976a + 360721698336543852853698582240 )x^{21} + (-183345274436726327914631983104a^{2} + 491201996550846839401277022952a + 43977198783140457501515563104 )x^{20} + (574880932539448885567934330704a^{2} - 286638200381571864475669505904a - 48591973866627520882382685152 )x^{19} + (198095926531736726111714192040a^{2} + 511634683979666458543213853160a + 386841859390551493486081925216 )x^{18} + (573156956819470872042957147136a^{2} + 483983698595085672163774584464a - 112224657752992818016076588544 )x^{17} + (466377523679550171904520386392a^{2} + 104069809765886487806701360084a + 146024016053746835964730046100 )x^{16} + (285603226685736864302834862560a^{2} - 376071143647661481516983730624a + 561092477035613289352051153792 )x^{15} + (107731137219975603434635336736a^{2} + 279652480883519745125526572016a + 172423930144092067376974171872 )x^{14} + (-364621644935835714585521990896a^{2} + 231206242658810896599157085792a - 75297769413373799505758334832 )x^{13} + (204888758330338094057271504240a^{2} - 283450039173489203373022855624a + 181002786652491151955552051440 )x^{12} + (-344833982581095847768657168576a^{2} - 85178574016378666740845620704a + 597992776699798925678840217280 )x^{11} + (466644181260257865396909793432a^{2} - 558619623564552227743050125680a - 420543043301752410423608274984 )x^{10} + (-303071713855719699730354129872a^{2} - 490751954024891618282425321216a + 355046300329617703424085407504 )x^{9} + (612788088744968590838025390684a^{2} - 579558789863520897731952055804a + 431355809278166572704087737288 )x^{8} + (420290815976897355049053722144a^{2} + 629709748976094759612974694560a + 159618160994899585659488495808 )x^{7} + (305621393383501235326764116576a^{2} + 462353983848272448171734838704a + 48518769119656698075049226912 )x^{6} + (-172330121161685765651402939328a^{2} + 276188258190453123972655148448a - 369631718548051898247754179008 )x^{5} + (471839606196166911417047714080a^{2} + 150862445212517930441275267176a - 525652603208613923949673575152 )x^{4} + (109421101759531777318232684064a^{2} + 552384440165354448048433299744a - 285636059172039453285234423264 )x^{3} + (-85017111039937878291887451536a^{2} + 440248412448474389730889000448a + 247317971985718951891229191360 )x^{2} + (126346782924797031262050524448a^{2} - 127916913602221079112763362704a + 63261317753824127007993586208 )x + 438278712887496316197434529308a^{2} - 354022969591810540515773818636a - 591526488019993485711614584564 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary