← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (32332071623033390200629798896a^{2} - 186742826677161404690941840712a - 251154447307565988622873157376 )x^{47} + (8950749002183768236237047392a^{2} - 175634012503080813397415275296a - 632258659564517012170035742628 )x^{46} + (-103271811103015769966150114080a^{2} + 262276084640070192835346290528a + 105369562587105963505368321208 )x^{45} + (-62809595118169142350553281980a^{2} + 62433141116933084678163179832a + 478610551092686304500032238500 )x^{44} + (-452161225553986418018565521032a^{2} - 84414232823581721415110336408a + 557569320448273850183368913272 )x^{43} + (-526086672484679181394151476672a^{2} + 111516953307849082301412203708a + 226111745230973688695864380048 )x^{42} + (106435694007792423926598220384a^{2} + 536699536255182752285598420712a + 108807952933914862557645701808 )x^{41} + (251482281266164458746707479220a^{2} - 516585116065649719731231443064a + 175144561392563351338525747240 )x^{40} + (-459735711751711289783418541200a^{2} + 125026017887592659803913233376a + 555672243127176137409609904992 )x^{39} + (-437568568659668698859836810784a^{2} - 412818429132417856654518756028a + 91508645874494907934014452180 )x^{38} + (86291817337144481373417023440a^{2} - 77238320049764523279470941376a - 442437910497321182623043697992 )x^{37} + (277891506327330068976123077972a^{2} + 572016455900158821361334454564a + 122976656413531121936046594584 )x^{36} + (193646470288341030939935829136a^{2} + 92344029427751502402814945264a + 43208276286518848657207670256 )x^{35} + (30844202804008372951391836704a^{2} - 134992305979265438372970691832a - 452316693191508203230663993212 )x^{34} + (-58340540586129774804618989488a^{2} - 43350854075373271513301172232a - 196902740820256248904486941160 )x^{33} + (-552771368083102508906100450034a^{2} + 555018022095854572761291969618a - 132620853912263113692433323938 )x^{32} + (364878014614494706785970324912a^{2} - 52304932815813901755539815472a - 437329897851370480796375069136 )x^{31} + (286312592771890726250848025160a^{2} - 2879777843272117611435792880a + 296683750557891636690601185240 )x^{30} + (-483255254616129040081248806344a^{2} + 444937505304079052280727251336a - 553650034923594809366513266824 )x^{29} + (-47861383237085511714871596668a^{2} - 576685724540103739576304815176a + 306692699449798707426862819512 )x^{28} + (-115395680454236876759502975792a^{2} - 293297534795392265653361229680a + 140107534781908231749196189728 )x^{27} + (331870809922070023472982208328a^{2} - 297483786561842852878991022440a + 181164064294738530368298593048 )x^{26} + (326452128827833633056260440152a^{2} - 35001434641185142425960965024a + 31803904670498847807735818112 )x^{25} + (426411187879563238800580859224a^{2} - 105059992840279613714063245248a + 528022816513769688591249290088 )x^{24} + (294255154752678052605114431520a^{2} + 227059068424468269054286152960a - 462163130307588135283961666752 )x^{23} + (-102114144235668739892140813624a^{2} + 472202284188111044530481657264a + 396850767797287025601971676728 )x^{22} + (361550730763715526187733307408a^{2} - 554795717771092920022273587872a + 8833923984570917137410845504 )x^{21} + (-166659783540440706385118211672a^{2} + 44135686564321925039701772016a - 280589390060826802229834222528 )x^{20} + (218852595633139677016809144752a^{2} - 6217623585021451058169516656a - 301646854612881658168532736064 )x^{19} + (143435665661789037465434120296a^{2} - 473604835768458960479529101496a + 369136048003003334917828864992 )x^{18} + (357568560006405442137446999360a^{2} + 438713559699889376809932671728a - 528701509673188503907749745920 )x^{17} + (384503187121369254946085772376a^{2} + 341766894981585472384408838316a - 583352649394776421685973083324 )x^{16} + (534092650584320671397846454624a^{2} + 479704677536358645852132911424a + 149594438873768421057323730048 )x^{15} + (61073744892169838484725958912a^{2} - 239556489047890859730291812592a - 387487368232705463424252878176 )x^{14} + (10582252889374567636606356400a^{2} - 386811727509683633354484825856a - 93403797099445749637224743280 )x^{13} + (214418766811227411083430094592a^{2} - 307043176056746271431353385480a - 526638751020886303928702615984 )x^{12} + (559315955493612408680109191264a^{2} + 50111943703790880084659656864a - 325456263623115377725162225824 )x^{11} + (-353948370970719857591656029704a^{2} - 73296917608377058169903625584a + 252073038499662760985849149256 )x^{10} + (-1330351363004713551858246896a^{2} - 503331605638467622486148864224a - 490971468585952705800925638832 )x^{9} + (15017027763585351786713567628a^{2} + 463874888985440287317976657092a + 218539907027738262233097342696 )x^{8} + (-360206816401101123387420683104a^{2} + 195296535573412243346437252000a - 269870787352659031809600674752 )x^{7} + (240881214404008939202463438240a^{2} + 160586830668356618556033221392a - 262300668897867886101106790432 )x^{6} + (362186624336511284779535785792a^{2} + 201392839244711569202750615328a + 596411095480968629164816809312 )x^{5} + (-210591988601210313481652529680a^{2} - 483392210475557294299820328376a - 150174389206322066089469852576 )x^{4} + (-198290876423792450528802491360a^{2} - 212822361554131797751599731424a - 327965778506448554334157441888 )x^{3} + (11196573294811977243780702704a^{2} - 342820176100563644170629380656a + 546224851828623309456874184624 )x^{2} + (313882685673826875505325421088a^{2} + 52805295988824497064649712112a + 551095521286662255056385094912 )x - 13240433464058817366599280612a^{2} - 484482244330232572016922994124a - 384795553409036015271794512228 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary