← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (32332071623033390200629798896a^{2} - 186742826677161404690941840712a - 251154447307565988622873157376 )x^{47} + (498054366838000787992685511832a^{2} - 407277620207489795657191038952a - 101403883807690444176505508388 )x^{46} + (486437899266961254192098339328a^{2} - 302883574821365337313566346768a - 147752590741117170153401755288 )x^{45} + (216067576897887075761763701604a^{2} + 378607287234975465689362120232a - 417056572229354786124079907740 )x^{44} + (-71681167273760735610213200824a^{2} - 154537686886921438570552354872a - 490647784926586009152380268504 )x^{43} + (-508534708171607012734504363080a^{2} + 586081846180686874362185165756a - 574879745875411328651995961688 )x^{42} + (371382855077363822934922155960a^{2} - 68135503573390708003327784816a + 354942791143599579581631591792 )x^{41} + (-242349724250354216844373346068a^{2} + 402860813425791796487640706656a + 567809202356990460793569311700 )x^{40} + (-33521706883646307728263517104a^{2} - 46832053034974128682072065760a - 412260415276659974097807916608 )x^{39} + (450649252614223817369894601696a^{2} + 437423774410187714194467148676a + 421532688649905913194322247028 )x^{38} + (567601571839926620887786613104a^{2} + 322139314116770006045864002832a + 258186973840158329894506847528 )x^{37} + (-35892123945010747198654677284a^{2} - 470693526526967443167333271468a - 438237898301705981752889634160 )x^{36} + (-61210555805631151350384328208a^{2} - 561994045335399514626833373232a - 607510908240491888494203259312 )x^{35} + (-315647915717785946482911222720a^{2} + 410033607378827623336481982920a + 433934720226281885210197517660 )x^{34} + (-51285857016336471737895154096a^{2} - 167692353334624580957184480952a - 198361582397499994001305675896 )x^{33} + (-625935592278703345798193825750a^{2} - 562992229621798447612605350942a + 485772522480570117449156131262 )x^{32} + (-526203763586224820043788785488a^{2} - 263731533686361393608711387984a + 321467004556849063491462588464 )x^{31} + (-418382027872650537997886627992a^{2} + 96499314998986401847631027968a + 417067200241565148558059216472 )x^{30} + (82975323028759130894353253496a^{2} - 254582333142395950867046917624a - 91585024992986056273269868584 )x^{29} + (-384452059650917040483158327884a^{2} - 493765968559647902609490072360a + 357486226387978551042950002632 )x^{28} + (259423630614243942715272159440a^{2} - 179804818808844680955328187920a - 434028769926894726292520381184 )x^{27} + (123614804947031685484476368472a^{2} + 11394052661952520968904155320a - 627482350529500996573814409464 )x^{26} + (150038504758618418153784918648a^{2} - 380659883859580094966306107344a + 370526836377074440697363085200 )x^{25} + (457688477047219962716652458520a^{2} + 443951989517515972104448399288a + 153405653793054144691625434496 )x^{24} + (-471768744753811235095288094208a^{2} + 559421265692672484013528680736a - 85522920629293980794304921728 )x^{23} + (560206717883510540132567595864a^{2} - 147608250242695515149013128832a - 453877694230602699935019578904 )x^{22} + (24187384463710071837939588944a^{2} - 363779015169070757265106574688a - 610226418876045170501790769632 )x^{21} + (612304535254130686984928851040a^{2} - 285161455224942028959676939376a - 291287844247389561590370567984 )x^{20} + (-464113589540088766251244439728a^{2} + 487290087543189352127852666512a + 875524783692050615376560992 )x^{19} + (6019363304903728038965068920a^{2} - 149117549456020838597211094120a + 553589171649095956771711841952 )x^{18} + (221990042687264627103502746624a^{2} + 445951977564154684978173325520a + 86602440996678215758255723808 )x^{17} + (-442903091009096684647391152544a^{2} + 478894132708871802098734039516a + 453342231990014961785370029916 )x^{16} + (597651319377173303522726053920a^{2} - 282778339746907645675592982464a - 445684152246006008231379582400 )x^{15} + (-198005502083449531959475129248a^{2} + 620278695358570917444155933712a + 507157952444014020385630117952 )x^{14} + (119043381704669487062804001488a^{2} + 11502196992422520334520645664a + 125395237571038452608123510544 )x^{13} + (-572236693059015843757516848928a^{2} + 83556970602011848313338170984a + 338258116229760160413063760640 )x^{12} + (-343511571443166046532104300288a^{2} + 381622527907987465217759952960a + 363377908581977324022876162720 )x^{11} + (-362612207170786162344835364600a^{2} - 37088487337821909309691950656a + 384481595942718392510598605640 )x^{10} + (-186285664642740347912464184880a^{2} - 243446889428450552434342127904a + 143107031566003159837890572912 )x^{9} + (247030291355249925727868588188a^{2} + 519744346993552384663116609508a - 418019713753740412172551231512 )x^{8} + (-173920892136816626039843745952a^{2} + 191629003947209406720169881248a - 184241410265504924775484537408 )x^{7} + (282181281606143107062763461504a^{2} + 81569746183971090609836772848a + 366336386954156004181129781248 )x^{6} + (461121566199146107865536321088a^{2} - 555706026573027992377075675904a + 419229112795034962796933675360 )x^{5} + (-537099500715505966793862594720a^{2} + 221639525420285574651850097752a + 497930028351443365267793102320 )x^{4} + (-184735761376620348273831894048a^{2} - 37654776415208960827777203040a + 298845960941440687157462532832 )x^{3} + (611122306670324336228941191152a^{2} + 237598503062034613336561043024a - 418578010738613946114322165472 )x^{2} + (86098481117294722697536224544a^{2} - 605623676824873889222429145584a - 275635565747958668673602351968 )x + 179967357385695439561398699804a^{2} - 303152789680116684532158206492a - 391479187155857259027270006260 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary