← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-438478186395448632098745063328a^{2} - 279752000228846101424347880648a - 406940870177839108157411769744 )x^{47} + (-18927052389570582120854193996a^{2} + 183782505119393216345725672044a - 551377584464175930305612847744 )x^{46} + (294155260267767675328195386856a^{2} - 318651392472076536904811121424a - 432576014460429496350636100200 )x^{45} + (125445841558038893517563908164a^{2} + 578467869113983038280647781276a + 13544443675750622117847178744 )x^{44} + (-39712814983849243887274120a^{2} - 567720520445457753450378031256a + 618284088871068198356716846928 )x^{43} + (63891439636536811323162815080a^{2} + 467416498322223598008110968944a + 136877829964068373989399231084 )x^{42} + (257193315264153432024571054056a^{2} - 526809800733530106669907760504a - 549935566807567646808399521616 )x^{41} + (362961242395905561889493804760a^{2} + 378698842199688178954229245996a - 137969899961438414013471729016 )x^{40} + (490346677826846966361000758720a^{2} + 222586249495848725180904879008a - 561188655736445124516281006608 )x^{39} + (487547546227187970112692003760a^{2} + 223797058869307204329575483892a - 40238848251325742238045342680 )x^{38} + (-130434531997914498283012913848a^{2} + 300166644031702092667300171968a - 206829005597542248463239369712 )x^{37} + (607442110087301103310271642488a^{2} + 633291794687000724386047652328a - 387781899400467256545853701724 )x^{36} + (559469916216116214208528826256a^{2} - 149681257777973477469298283568a + 282463353581032903022179433392 )x^{35} + (624449265764191321451633193948a^{2} - 150481371998131933804685897572a + 395125926168620629545501401432 )x^{34} + (620793203214889621855060335344a^{2} + 446081931704238772033663044064a + 341449939476611714807831451160 )x^{33} + (284806448626202441505041731632a^{2} - 207350398451651629077551802714a + 102878290181905922186618497208 )x^{32} + (-81076670993016665377970638960a^{2} - 457971352576932564576751847120a - 456525456415878778832390438912 )x^{31} + (-132883826644379576368548729928a^{2} + 51222002216355335977247751016a - 387457415846174335732512497016 )x^{30} + (411270221732052302263038651648a^{2} + 169052146766178427873183502248a - 358525141039201663396780620912 )x^{29} + (471560330807006575231130323764a^{2} + 282986549546449568791641181828a + 385723788919945366334343822064 )x^{28} + (578644147621331024630948285168a^{2} + 358427587855755356547468644400a - 138825699873996192403458285312 )x^{27} + (75414531473984053664371559552a^{2} + 299019365994948646098250660704a - 235397791921868107967245172400 )x^{26} + (515005111161813325793947534568a^{2} - 620380679397304499665096366792a - 544597864882452580938649906112 )x^{25} + (-389416960896731645716555532016a^{2} - 458321571407289811898463909728a + 611446537185463628158059378892 )x^{24} + (81719870025400001816530761056a^{2} - 362109982765059634540386652224a - 83877037138870833645397632928 )x^{23} + (360244610487281254200799562936a^{2} + 181530515094191810863514587896a + 504202290963783017606245983104 )x^{22} + (3084666781778820846737081504a^{2} - 8958460395847595488198540656a + 278114280765251393868091990672 )x^{21} + (61149903449246027735434273384a^{2} + 142380663361634205575423306624a + 38869212113762572881453718664 )x^{20} + (-388812198814289898499072235600a^{2} - 492936058368520208583126698480a - 24766806070479283570148371200 )x^{19} + (-262603688116036425300927676712a^{2} + 379455096995772876883843662712a + 109213330015101380209776826632 )x^{18} + (-263785650665187646498474630432a^{2} + 608439136901686581661829048160a + 14877669849623709656894777648 )x^{17} + (-618806408315066061054751449696a^{2} + 273605568205127264227969457432a + 632289435693592006977295426676 )x^{16} + (-620169783791489465459469203712a^{2} - 588806283180142716413320376736a + 294514690790249958187911320928 )x^{15} + (622050452151069496036154447248a^{2} - 101582172368914492811636808672a + 472446729681861322314061125424 )x^{14} + (518248662510880432140592466960a^{2} - 191681617179107392341029581952a - 600541330295137915625316618496 )x^{13} + (-506164964299980038992158441944a^{2} - 80028897492878030669068081944a - 337548234777783641290758616232 )x^{12} + (-513494686391036597338073876352a^{2} - 193714282217514122978699897984a + 476348440826378760447168770496 )x^{11} + (-222847951574359722901140164072a^{2} - 151024426088274479673987109416a - 46526058851028127949779329424 )x^{10} + (-573272574339596423592533918256a^{2} - 332664553660911945933440073296a + 279150652343466725253848458480 )x^{9} + (333541734073773913002011728448a^{2} + 330809263836953343847885797756a - 500384984986696847626308120960 )x^{8} + (547273673887722532740339458272a^{2} - 344600388785181454941440091936a - 202541468964334850083326631616 )x^{7} + (-392409567421050442144601609184a^{2} + 562023326585222353870345899008a - 382814338935825474670195051824 )x^{6} + (-376647414852498777209928296096a^{2} - 391599249480350386078334824896a + 166335282220361443672334627968 )x^{5} + (270561403907564589730475956136a^{2} - 607376536074985546140471427656a + 336410366875376424295706109904 )x^{4} + (141603723235681583978461360960a^{2} + 216429857662940161390704676352a + 541082425508122021518382123648 )x^{3} + (-562267318583917090702749877424a^{2} + 558065747560660833058573472560a + 45659366599338186926668901136 )x^{2} + (-608328865526928769740878615376a^{2} + 171028353433863496836278228816a - 280610322535518842900346925312 )x - 112576200148722238437974535280a^{2} + 249553251740018424181446278416a + 46966283628415396496914974740 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary