← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-438478186395448632098745063328a^{2} - 279752000228846101424347880648a - 406940870177839108157411769744 )x^{47} + (-206159256250907925739231641828a^{2} - 455283750885069713628519908980a + 330817379017192716260208704496 )x^{46} + (393113269191492900126581115752a^{2} - 68160913413362764436456326080a - 456259199195756969712850976936 )x^{45} + (-519612495837679276883224135140a^{2} - 41557515673060740237995501356a + 393394738386712761559680137408 )x^{44} + (572796651651811358018165546056a^{2} - 78385682901194521850309513160a - 438633989193622257445471450640 )x^{43} + (-17991764697570143437439065400a^{2} + 401990741194214706785296326184a + 155040395905276093764294925628 )x^{42} + (-360802345998779641238843210536a^{2} + 580806160297693154877780087776a + 624744141572719373627384026808 )x^{41} + (393745561735046281696257827576a^{2} + 386209329985032479650738151200a + 166298488999778835586936596192 )x^{40} + (-533796162125409540295594207808a^{2} + 216285769232101025940620867392a + 82623881194153249368971550768 )x^{39} + (-521902335459186803958399148720a^{2} + 181862627203423278037545675380a - 131864938075768859637081863704 )x^{38} + (104680402845266365914767568168a^{2} + 578199526743774086868095390592a + 251900611492914953866397045216 )x^{37} + (-549204147808669491062145782920a^{2} - 171945542170821143363460863984a - 345302658291249473448497631804 )x^{36} + (-207328447188083070655302394512a^{2} - 387214951638682504249010215856a - 509335118835313822643288256400 )x^{35} + (-10511205275713610831806989180a^{2} + 36283977141706075719413206980a - 373032932115198460142970100720 )x^{34} + (-375295737933853194599220450480a^{2} + 291581281739204289901108205424a - 470819780312669687286232344968 )x^{33} + (485795611395294912244591654380a^{2} - 576065488793417968401506244518a - 169967317587978260862814738460 )x^{32} + (469773165104686299848165458320a^{2} - 256076349357274687328724924272a - 220185641047817705616019101600 )x^{31} + (-143962917268106528147568364904a^{2} + 76117624370613430893942231272a - 282767121225463202362386457640 )x^{30} + (167405340935371230398198626208a^{2} - 414407663361425939314529674616a - 230409628065180959831077214928 )x^{29} + (124404384170331323840052294772a^{2} - 226793364452954433148575667084a + 154048199673769400964057525704 )x^{28} + (382824705554738761235832761040a^{2} + 587634316623670641625301793840a + 268547304702776978052267932896 )x^{27} + (259817793003508047846127819824a^{2} + 461978320780122619921501422144a + 207686214591097189711873965344 )x^{26} + (509181446606552695389709128616a^{2} - 319093943399923361035207745800a - 94597950116882538481145140864 )x^{25} + (-243946894570430082310612822528a^{2} - 553571619319224189098536143360a - 7671300642226359244716181604 )x^{24} + (-561695568658311954327678724480a^{2} - 371684010697099835887348801248a + 323212578826699045093375251008 )x^{23} + (-240474508686020513959916337992a^{2} + 526950934791166798588712303496a - 585234684748180007864635520208 )x^{22} + (-569125554491550656088128777056a^{2} - 181539918828855641055416839408a - 348167703806582509373853794192 )x^{21} + (-553847319613460760838214527936a^{2} - 138331769705170483467557630824a + 480115033916836438141461055184 )x^{20} + (148384564352264712806590958608a^{2} - 350473522255297394390246343984a - 534806615578776422752190299648 )x^{19} + (-199501508695765877473514842312a^{2} + 488760649463838049442387792248a - 396092398973912187953391118376 )x^{18} + (334164278035785957246955925696a^{2} + 613128638876994771271272425024a + 525122094595885463290228458064 )x^{17} + (-407755258221461352614323467552a^{2} + 477430022555796141461089558240a - 1438294638761777783575086140 )x^{16} + (89196227515140308999298170944a^{2} - 127770259703249276107749983968a + 509217686242544297848062959840 )x^{15} + (-103295063114056010285996600144a^{2} + 177697932874675426051798785088a + 140850843896677450315437207888 )x^{14} + (-437397859576928693653958802224a^{2} - 483777034448768684029773741184a + 2388578236348897841340307040 )x^{13} + (-26285003589521545708785852216a^{2} - 346635009860640828025675044104a + 68072867479928822591796643384 )x^{12} + (211741519059065674985997618784a^{2} + 427409366689173096922615522976a - 570451653454156496944368096160 )x^{11} + (563236575302340294152972370248a^{2} + 355561211026961468310615595896a - 116750104515225865641813603808 )x^{10} + (500001691799585616276609583504a^{2} - 200439735662185711314601557456a + 335316184050294841645974018928 )x^{9} + (403826071553329947400949152752a^{2} + 5632507297374088609354533308a + 541274185189666837877816721680 )x^{8} + (100731635341875818236112183072a^{2} + 439419306902042067507465299552a + 447195084981667697542956322048 )x^{7} + (42124085026134702899290934592a^{2} - 604297876941685743712899873056a + 556576838650796803958739167600 )x^{6} + (-153076215408597230519912446400a^{2} + 126613346009002276252553398048a - 614854202921938019046868320992 )x^{5} + (244827484148707409849679078216a^{2} + 495378992667027767880871151592a - 84668479912370934464390556512 )x^{4} + (477153680783398940491311172160a^{2} + 300629794604256057344152920768a + 399905412558958444402690227008 )x^{3} + (-184992663910003941301176752144a^{2} - 346559059074120145322539444064a + 519288602029336677583657829216 )x^{2} + (-566845416589965324301047121296a^{2} - 437783710576451396556422395024a + 492690393265742564110538742784 )x - 613595805951123490380483499088a^{2} + 344014254022249223869367935920a - 115290056425780651234849129004 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary