← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-438478186395448632098745063328a^{2} - 279752000228846101424347880648a - 406940870177839108157411769744 )x^{47} + (-196114373190713146608765860412a^{2} + 278592372627742002263212560604a + 424975179959962179232205004328 )x^{46} + (616393701027638162822426330040a^{2} + 266718708743450477910783631600a + 228748719965898542206407183720 )x^{45} + (610387416622404117804522713076a^{2} + 417286018817406844006882642284a - 573987345065910214569955758064 )x^{44} + (480394397456930894474268515080a^{2} - 193165637633343630773846009352a + 50353199282072553973212980144 )x^{43} + (390666987254841512932790405200a^{2} + 514259021115242971032509294240a + 466178966377115857313437210628 )x^{42} + (-270419158648218166507073341424a^{2} - 472287814085610133939491606552a + 238673929140026832905785683384 )x^{41} + (-184548755828767651202345549804a^{2} - 529965663140025780438457200392a - 131632462274034074805536351732 )x^{40} + (-513265543206159957591434476000a^{2} - 385991587691126800615291044320a - 76626015637947984936314788528 )x^{39} + (-533612387078872982278435900752a^{2} - 294574386888056612738341699740a - 186735271117686975611321834472 )x^{38} + (-225718441225269582450845909608a^{2} + 352146171417265193040314710336a + 509739380081358143398872007872 )x^{37} + (-129697072301884746159846685200a^{2} + 349100694881812679436173220760a + 319693713815156520354058886876 )x^{36} + (-211568298607189076358387290928a^{2} + 415225368203703313599553403216a + 566890069021184155826309793776 )x^{35} + (55140991301272131522599683412a^{2} - 304231255006854619055886284628a - 104627843939478355442753862032 )x^{34} + (328245893086995968289626576352a^{2} - 61071463948685419326313600800a - 117379998698687576520059999832 )x^{33} + (-546452428825230000705116879900a^{2} + 341260137906673973213185382362a + 288027075548678217339122838800 )x^{32} + (-182872868918653119496828142608a^{2} - 403546876672417843765212846896a - 388393395200629338370990734848 )x^{31} + (3740079851648960175507053944a^{2} - 493095064855248433070546337048a - 201544627884334484980937270744 )x^{30} + (-329423987516663066574432119360a^{2} + 481949660487852340248649093224a - 496455775228604802880908304432 )x^{29} + (375011923792647391512821891284a^{2} + 565987389348972514698757135692a + 416174511223590426697995048208 )x^{28} + (394538948488298576499079462128a^{2} - 282194655700606277950599105616a - 342302226956514029830530237824 )x^{27} + (-2762134097922063535798078928a^{2} + 236022114776236072214533251088a - 158727395451529578403427693312 )x^{26} + (411761262703403562123328778312a^{2} + 156571703123305998258799948856a - 166149649787997766949115878368 )x^{25} + (-576587979592389015359747477824a^{2} + 372738539780161479310641330744a + 205810198610564727481668037604 )x^{24} + (110922730162313939510317562624a^{2} + 457880540710245315544061079712a - 429639296454234902972396201888 )x^{23} + (-508059355021863845266102508920a^{2} + 472250395895921149612475642168a + 27418147117752931729608388064 )x^{22} + (333562759461533694862267442272a^{2} - 541518038694343418302102495280a - 279295542901573441062030800880 )x^{21} + (-487860247559839129639760800976a^{2} - 113933239330750689855595937360a - 383085357762693451335742832936 )x^{20} + (-3125586673430670367689054896a^{2} - 514652935242641204595899361424a - 220673323239823015547844737184 )x^{19} + (-191388767219057127433419830024a^{2} - 257383887005427334559158468632a + 341966047635212878288228604712 )x^{18} + (-475295719817996192417301134944a^{2} - 213779276854570185738372839168a - 568228870703942259221555578768 )x^{17} + (305922519934816054935915024392a^{2} - 403791889030976903055878478272a - 372320253042141194778914378996 )x^{16} + (-262097976766125980350069464768a^{2} + 582254188865017359726145908384a - 251720003780397125750478615648 )x^{15} + (-8334908202489712447896139312a^{2} - 27643229994241497861295460640a - 56958503199191657261958454224 )x^{14} + (-551323730836928737016316448912a^{2} - 257088243300309699695820448a - 113628950651264512454886659904 )x^{13} + (-214501394935384042309938573976a^{2} - 76655531666259027302945223928a + 109635819804352937700086951304 )x^{12} + (270030710485349597427371882976a^{2} + 108125181333612972787672153344a - 93217405165083632484566971840 )x^{11} + (-249071535025524964457026179576a^{2} - 608011612257070449474946136232a + 128294420822160880318091733648 )x^{10} + (243372246880375568887030712112a^{2} + 89756383547783278680712315728a - 116993263616244590243911034320 )x^{9} + (-354057755481027917510373262944a^{2} - 144257574337769520356751511380a - 46970018200072416353894799776 )x^{8} + (-219496841804011012886607155232a^{2} - 235007264944906231154433586976a + 336224096048105158345110344832 )x^{7} + (-171212312739198478297255293664a^{2} + 317990443699303248888376519680a - 139170267846206453301319290832 )x^{6} + (-96861744109020497491292887168a^{2} - 254281462263512163677448571168a - 422610783524831489669504368896 )x^{5} + (467964475412086379077795956456a^{2} - 558283564241968262201943258904a - 302602289024854904074188540416 )x^{4} + (-196744878767111442195103758080a^{2} + 444410448340676072549153936576a - 466897239153593888434728035648 )x^{3} + (-292933243939266637544850932064a^{2} - 194673036914886534936577162608a + 97638922397038451546035285728 )x^{2} + (-177200778357072424753704330320a^{2} - 292324624512259594006152445872a - 617038001484053736245493190624 )x + 266917158985391617043737588176a^{2} - 515874031142930541192763135088a + 95280396647587159652240074852 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary