← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-438478186395448632098745063328a^{2} - 279752000228846101424347880648a - 406940870177839108157411769744 )x^{47} + (137584883113058230759293183548a^{2} - 243022482595387598198031060292a - 578493371410910686446309878872 )x^{46} + (-222626932683026560112849771624a^{2} + 369193556228693523599466180128a + 124028163755077881209937849288 )x^{45} + (375352699261213263644352098124a^{2} + 203585066828799107075923518948a - 514005383987544824657682346136 )x^{44} + (453717875495655387598348989944a^{2} - 565607340499908592519101915544a - 26760345604904556023433146704 )x^{43} + (-505583375974281049262994877968a^{2} + 288491064214009089199078136536a + 227370486740211005235692250452 )x^{42} + (-483986550147297319777034958688a^{2} + 413521083532051160058990834064a + 315177801419750421012107329440 )x^{41} + (156216920312149996390474871228a^{2} - 408883029391253535153957133196a + 414848838694168795823740143628 )x^{40} + (447354437988241082368886706528a^{2} + 564296933907078163248259302272a - 585383565381473110840127728112 )x^{39} + (-312916643558870639318454199824a^{2} - 171030746026284391598597100892a - 455762372422046429107577061672 )x^{38} + (-494093716291952425162602557192a^{2} - 225586554411742179562008025376a - 394203291967609332431125941872 )x^{37} + (-402877692427484553825656950320a^{2} + 509368637063618501743315725168a + 495936644061848233787966773292 )x^{36} + (106116554393557905106726784912a^{2} - 316089224292134488632110865232a + 457585670084292555247591138576 )x^{35} + (-350817843792741145809695693556a^{2} - 530282338354101072822721507212a - 331008576152605588098659683832 )x^{34} + (403126222530521000962309120512a^{2} + 471270866914490619606778640656a - 287799894052720679074037302840 )x^{33} + (-282247220406591563413397592888a^{2} + 570732726083564530282732552678a - 217021841764549866991697391644 )x^{32} + (478009017827812278824770095856a^{2} + 140962244612910090822763896624a + 206450517557489429317646557984 )x^{31} + (56909518851388103796942211000a^{2} + 165950160433157524182392056360a - 618407637196670543472769733672 )x^{30} + (-33385105459058108498885437536a^{2} + 540812977061476248405000527112a + 401520854556389196498338394352 )x^{29} + (-386268157263855012917315339180a^{2} - 461097794164809306256883692388a - 108228920351307311675272822296 )x^{28} + (-160165304905955737201975654320a^{2} + 389441538521561489879878091184a + 134373967872335981373623738720 )x^{27} + (-307188738593846568182296350432a^{2} + 505162408738307938980665201456a + 84743796198012410350489143408 )x^{26} + (203249129543425635985978703624a^{2} + 258716774812079621209497594392a - 353913712368300314288691114208 )x^{25} + (356637096519600404820008750592a^{2} + 404862390414369525763106709576a - 28743790116509641565506479772 )x^{24} + (549006283374296667970617154400a^{2} - 507539713528207854301841076928a - 290683352066730826302753581952 )x^{23} + (298918606877880972599545649960a^{2} - 241026785116461382161982204536a - 167196114985298413715124220688 )x^{22} + (485049527456228425977894277408a^{2} - 141416863727299760668120238896a + 621232254608316010698498043440 )x^{21} + (590794086282169333218688979288a^{2} + 629139191684562040691769744504a + 363453480553205030833901409552 )x^{20} + (413607444346376512650800306672a^{2} + 168504573864898441765382020080a - 265561407157493179385157446688 )x^{19} + (110097710441792804728798488280a^{2} + 565508352229508274076774361128a + 216347220198839066369552612600 )x^{18} + (-272381008248316091148647179040a^{2} + 581548793547851328153519780864a + 335775081652786619347325056336 )x^{17} + (-44410540057122360658411557672a^{2} - 448786290873502186089544933688a - 201327031323781665333066624820 )x^{16} + (-223883510526410327742980829440a^{2} + 532346921393851611491135409632a + 22598510061517741346617070112 )x^{15} + (-435289878290601928965602710800a^{2} - 158973438995123732991439673536a - 608947260049391333641824184624 )x^{14} + (-13069127692381691458431798224a^{2} - 232171143200288193837884989216a - 401071829867353931782396965280 )x^{13} + (214301409468908459790816301096a^{2} - 547924989706594093088421431752a + 487504544008771757400945075112 )x^{12} + (503917524608562708780490604800a^{2} - 455494688084059270193825708192a - 615342555627489426388219602656 )x^{11} + (49187539792088500856313911480a^{2} + 395282420048244735351948448856a + 186921408322082757253816164256 )x^{10} + (-604371780373983190009073053136a^{2} + 226381337045456463457325795984a - 362160063035010579114229501200 )x^{9} + (-256186796119176395122326810832a^{2} + 298961394305837391528064758572a - 68559863401710580562817238672 )x^{8} + (543950001917007324926270913440a^{2} + 13775716597439861606827902944a - 90843608353167364429330653248 )x^{7} + (416467025240384255649916028736a^{2} + 571951563102950625398993530016a - 497597028995560226862687226288 )x^{6} + (-280341925913814361404128868640a^{2} + 50209491188772617593654923776a + 16807669227275469368466064544 )x^{5} + (-3555468445134282486469781976a^{2} + 483001487230120575442382399608a + 520916665304931090244528740816 )x^{4} + (-63380974636035137756944191872a^{2} + 264064955005079161426503088768a - 302211143843700290393057227264 )x^{3} + (67952858167949788425947358656a^{2} - 573263274791008927222916130784a - 357506971793789767490393042576 )x^{2} + (497901892066876755017886969648a^{2} - 478633837515567172273196304528a + 366903912767015900312953286560 )x + 444304546650286687671789957840a^{2} - 395018122494027131703675927504a + 180801931214353347049263775652 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary