← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-438478186395448632098745063328a^{2} - 279752000228846101424347880648a - 406940870177839108157411769744 )x^{47} + (-419094151100357554301333257052a^{2} + 217940513088483296352722723124a + 258853372613656126973284226704 )x^{46} + (-165774959449285519954357417752a^{2} - 422925401695971948019384750544a + 70171616782837336720659451432 )x^{45} + (-593662427390220317958532814980a^{2} + 10053962151884882278639263236a + 186187837276134099402617116080 )x^{44} + (211888453006082556271295689880a^{2} + 94854105076006362650290347000a - 541976163029145118921820379920 )x^{43} + (126145686478021838656590746328a^{2} + 235035156215219203727928809536a + 78020151900312622057639252180 )x^{42} + (518977491801883209438779458504a^{2} + 572286780171830283342066696544a - 92762420334855075747090846784 )x^{41} + (89751243802489033033440232624a^{2} + 15545220718043402661538258628a + 502286427944110752986727860328 )x^{40} + (-502631619428621205766056382336a^{2} - 241216998882108519149904924288a - 100517196616517516881081772080 )x^{39} + (-50514932753899048665272922784a^{2} - 212261863618385783785590185852a - 369215593294882037156137366392 )x^{38} + (-182693929613965923262467948008a^{2} - 210581037994939541008962319488a + 33667497509347184762109049776 )x^{37} + (-507132519436483870174762307480a^{2} - 43182203246094961619936925976a - 95079371345144311271749815220 )x^{36} + (564044485011211880957057799248a^{2} - 262061472143916092124327684176a - 523093944574956232003073586416 )x^{35} + (-493281852467519291174477610308a^{2} + 270358555319426987326102350748a + 175848502241241715973207429464 )x^{34} + (100988353545706180185013918096a^{2} - 232399075123944323228743028384a - 366511195461302792739861702840 )x^{33} + (330066942513406066472759544608a^{2} + 556754954513174604697477840690a - 47545100616853615428536859016 )x^{32} + (611603219094419454465746720400a^{2} + 530091150473119556925376459056a + 335025965647856191830839693312 )x^{31} + (-165187723249472516183554588072a^{2} + 329031063256384321607018926968a - 598579890635538242626442541912 )x^{30} + (-632846349584944116583554895520a^{2} + 168656698765316014468207991368a + 217886310953078542687760175056 )x^{29} + (-493730941445223686255178299724a^{2} + 45834559430725598084904274540a - 168386197042338715346965623616 )x^{28} + (-382805307679147531029267169008a^{2} - 380934462097421854745881738320a + 633591985284422250288266648096 )x^{27} + (623758013463047469066445955168a^{2} + 374579645287014936491189668736a - 433714482540440107464961121024 )x^{26} + (-269004268401967346161892145752a^{2} - 508733398820440806469576404808a - 262608294802119727899788596160 )x^{25} + (-609770087157508868646704960624a^{2} + 76778204346055494799890299456a - 203112776648850301401419626100 )x^{24} + (-473719764470963897518172538144a^{2} - 475607930620985898480852145056a - 15468930924899637563848226784 )x^{23} + (543725081264767054563209734712a^{2} + 446809749603440633736366597544a + 99402760239563962966245816256 )x^{22} + (-554926120839911557786482053856a^{2} + 557007571567700566355116018800a - 123457129786402074851829761904 )x^{21} + (-146313399518543486120996274344a^{2} + 379971590379235045837279576480a + 32677978176403522782470889112 )x^{20} + (179684117584305399218189917328a^{2} - 531537438561436267133189886128a - 546611038638317208413715553984 )x^{19} + (42567262159357192672683828488a^{2} + 524427889633767118125844600744a - 280596033089250016023697966424 )x^{18} + (-613648044587182213652794012128a^{2} + 368742746796316931259178126048a - 492964240034984017411515919568 )x^{17} + (552443445384648340948188723712a^{2} + 106361686341550859339043238712a + 131992010787862248730873436628 )x^{16} + (-23751551715681556509212832640a^{2} + 454958016677801950534852385248a + 210630341752601951759843128544 )x^{15} + (-483178522989622799642643862704a^{2} - 536376753411422176251841750208a + 279801825736208364755723473008 )x^{14} + (151663057182530748087304475376a^{2} - 15106757841620154396495246816a + 336086020732576176339700268224 )x^{13} + (443149239892086422826961119240a^{2} - 188525051135684690603602161160a - 560204458127434547725173029864 )x^{12} + (-246873280371336254547444023360a^{2} + 442972458736924589969726043904a + 326678791626661936897043771648 )x^{11} + (46929229484719222895496237960a^{2} + 235881920310837467274987187848a - 573361520493038436230376008272 )x^{10} + (452770660423852849869723286096a^{2} + 18876458589907068758422141648a + 164884410480471787297630934512 )x^{9} + (-629803697828384532178322705792a^{2} - 79145252923935557160780585380a - 444207564988180530970771139680 )x^{8} + (594424580234523506369412794592a^{2} - 454583659842564511582164161760a + 107282695003338469921091995072 )x^{7} + (-380550829804095095286038650944a^{2} + 462237709776177750042526819040a - 147481710915373513350932949008 )x^{6} + (-130533889026016600453553456352a^{2} + 5875395045548240290953436256a - 269725345258322151057668216448 )x^{5} + (-347187750551796531937143735656a^{2} + 275112557148907721678792218712a - 187740357645199831692381751888 )x^{4} + (-523060557135659265852530813184a^{2} - 487193522502124326256799076288a + 522712846788646651255814802112 )x^{3} + (-355866556452256914715100961840a^{2} + 618555155618885273179964242560a + 193743150211721744649409821296 )x^{2} + (-147036430428891518099288754032a^{2} + 471096340432796746740499921584a + 323798337531173105633727998464 )x + 172895961953635735519255230064a^{2} - 91209188587710095258057662448a - 333441839581528601066864237084 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary