← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-438478186395448632098745063328a^{2} - 279752000228846101424347880648a - 406940870177839108157411769744 )x^{47} + (223879422338235450108633754204a^{2} + 146503452187376453351439268276a - 126073637238880972471739702496 )x^{46} + (261443826051247282486702035048a^{2} + 381326007535666963007603315872a - 337101618142407922859489141080 )x^{45} + (576182512687283605413752401348a^{2} - 409269419402529837684822499044a - 215539994787066151613191257720 )x^{44} + (-146753349951881652339965017336a^{2} + 481387796603805117601683420552a - 212627180605025182880809692400 )x^{43} + (-529768422898658543783948136856a^{2} - 509640511256492998098378365928a + 38169472036978272909319981476 )x^{42} + (588778705935021061553322716552a^{2} - 28987313658375130071041074184a + 375922498298037655402439222184 )x^{41} + (-481479285548789098518741247176a^{2} + 576442241371805698860585152704a - 201338425028426422725966581480 )x^{40} + (580545731067724659858500837760a^{2} - 249509119679835317748765982560a + 632610975721673748355289670416 )x^{39} + (-595198683990707844225187164096a^{2} - 241374819458272915431760132444a + 491686172563180467966529671464 )x^{38} + (-299499839179912593091337259336a^{2} - 390352957252718248863179100288a - 6953372068440224598315187584 )x^{37} + (-150671815550967603740459479272a^{2} + 250232139866138709010111824864a - 259709404671286236883028061076 )x^{36} + (-178204436889334236864114873456a^{2} + 455861497953576401476851718864a + 202331441887753978779689195632 )x^{35} + (-478934226570164703719987681020a^{2} + 468005710401541775846002537076a + 234196415708546769955063013008 )x^{34} + (123151255768509748408991843728a^{2} - 161743145709241194345567915088a + 241919583566625078595072717128 )x^{33} + (279786741187129834356269861348a^{2} - 520238752020334281745029233850a - 527714497719821919366796790460 )x^{32} + (-323907155742072338485303224432a^{2} + 322971251206117389335952321552a + 219355616486059005177439546336 )x^{31} + (-9259073647871124238786213480a^{2} + 255627274166739859514106660888a + 415124734442766532798115859224 )x^{30} + (-451045594877817351599924913536a^{2} + 599895496447891091270648871528a - 561240617966243160595216497680 )x^{29} + (44490813203732121553190420164a^{2} - 262017745924690219376146975812a + 47733609924766627409302842584 )x^{28} + (-460105873184608109503737825872a^{2} + 112990000633509389250768532336a + 139662397005137323851967305600 )x^{27} + (-510702497993688345903965982448a^{2} + 58807785495636869729408213056a + 151082235268671206727667088784 )x^{26} + (104770182613119024136499026696a^{2} + 236772484776246468923733463160a + 43403147298248780805371208832 )x^{25} + (165214767880441881934920512240a^{2} - 81231683227567798177929897968a + 140086307873360027836622494444 )x^{24} + (385529694911586653210412583232a^{2} + 126146876840173678176510270016a + 478423062545980057626949493120 )x^{23} + (106162298578500107455034916728a^{2} - 600109401320112468471534950344a + 123585796324380337181652992432 )x^{22} + (201202143978827584956228368480a^{2} + 404535402590035088362895070512a - 109917479909863314296968422992 )x^{21} + (611250955704472460550861914736a^{2} - 336419091344253330504632509480a + 394397957945396082520717632032 )x^{20} + (-181052613252136687614462446352a^{2} - 234136845160442538491844499504a - 34904255120996332909740707008 )x^{19} + (-456128525039370773909168120536a^{2} - 458098670443401385450603858232a - 34191430626013761055195812872 )x^{18} + (-539096545795702839725785995808a^{2} + 610978331636105717350214339968a - 294876326590831493600017869744 )x^{17} + (-448201196941661624551114430832a^{2} + 370406990934509705352224829600a - 524508318407777071029153348204 )x^{16} + (483043819605735876633768238272a^{2} - 406045596271631497007809050208a - 161032904781779152439669273504 )x^{15} + (73848034797196510328594738416a^{2} - 229976846467833576095668722912a + 174734228094371510610846684944 )x^{14} + (266115359344982639098387226288a^{2} - 83015543333794560965598494240a + 529502562206575141544211451552 )x^{13} + (-461468832836990581212120888536a^{2} - 157053377663992040289565875928a - 587961128445930318813997687400 )x^{12} + (-26929746981576493193040113376a^{2} - 475129633040805253087216361568a - 611504642588736056624945457888 )x^{11} + (565417807862115489356497556152a^{2} - 502254548291879666699640548824a - 286920093105920155880682193312 )x^{10} + (-603925106178418230568599397680a^{2} - 197487668855481930054484935984a + 448021647130163714536113901872 )x^{9} + (-17663930893715331471961823344a^{2} - 300215193007995392503977636484a + 338425128458404543810657399056 )x^{8} + (580421450729346126353589965856a^{2} - 611467480410138554090950104672a + 476583794936534164734099971968 )x^{7} + (-178755248016816951122517857504a^{2} + 4424572685176744693629475328a + 86436942631716180618513650704 )x^{6} + (-471126906039979124954843101568a^{2} - 524618095705161455944481242752a + 175334068773041121400120941536 )x^{5} + (-53240453912189482029931005096a^{2} - 542235791092534544526406820664a - 289321917523078661323509715104 )x^{4} + (249501116588045251910911653248a^{2} - 322882241899671858418088231552a + 518626568733556402052953610752 )x^{3} + (565501901680664660076606018384a^{2} + 66059501447176786490213741872a + 176318335702824198950622007104 )x^{2} + (-161551752858150287971418902192a^{2} - 154972181716606916295356097584a + 277840296705578240589778690624 )x + 498218313476662804775178497328a^{2} + 280694210634807037506225328752a - 231598638528538238383930229788 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary