← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-438478186395448632098745063328a^{2} - 279752000228846101424347880648a - 406940870177839108157411769744 )x^{47} + (318266716512786597759647670676a^{2} - 14274533766773332888208173116a - 326862876981365461763137755448 )x^{46} + (612314596031341559384710857688a^{2} + 476798727237235095596765095088a - 160202907531179320047937304680 )x^{45} + (232293062109829606772673457052a^{2} + 181568628937298379002178614020a + 244112472707048281835058986120 )x^{44} + (481348368670077917916564172776a^{2} + 203796614166162379421597808008a + 158036463845524789540972220848 )x^{43} + (-618916721191763914192218592848a^{2} - 8201223077293543515340056256a - 328769894019061260860641459012 )x^{42} + (533273846085210814140808347536a^{2} - 149475035967853116665697634752a + 249255950635862258828401320760 )x^{41} + (-593490380591726412136256012540a^{2} + 626138515622769126244959752816a - 371122843578558461885878401188 )x^{40} + (402685120845910268899982311072a^{2} - 334715244725538749711160429888a - 360659653607288866830895070544 )x^{39} + (-580922464161647696498999256992a^{2} + 24693725029602482300078470228a + 189080099386597947606383110136 )x^{38} + (-594203706735212486553837947704a^{2} + 423619111408669185819694877184a - 163871732309680879856560423040 )x^{37} + (504616479531120784761582117408a^{2} - 458127854179153411621624868248a + 35496020198623894139374421492 )x^{36} + (92708329257840854426635923120a^{2} + 605237598861187937601143370544a - 215745851119824439140665062832 )x^{35} + (516644052076539284022805075140a^{2} + 487315860072012139621771349692a - 632462314343387133431121728688 )x^{34} + (623914083887507480428834324640a^{2} - 134896755033988559754622577600a - 519495488711670403952699256232 )x^{33} + (-577924780444185424699123535772a^{2} - 369174328536585585601929515370a - 578367416102687505621814497640 )x^{32} + (-251296414446137287708155381520a^{2} + 195721523339769718124145357776a - 608411172787985608619263895936 )x^{31} + (486855881153336812246916458680a^{2} + 313849551357539547593222543512a - 353098360385822754778332949592 )x^{30} + (-337509383120555986160191022048a^{2} - 306181309329692784660539687416a + 597926180109556237869925128208 )x^{29} + (631500742884668035729137466804a^{2} - 412408706288197671335608708076a - 518260388090174119658941479184 )x^{28} + (105379850626232286494251726928a^{2} + 240546548678519422294262724080a + 488607751060477622434342151968 )x^{27} + (-524454869031161433650900002576a^{2} - 108415851610115451932413955024a - 118598762685050182705597460464 )x^{26} + (-255408441961892384622810215736a^{2} - 22867830209969527232406810408a - 412530631895357213348112895136 )x^{25} + (-111287769241650417185289241264a^{2} - 79117138738984392294077857416a + 589125987963206242872837196004 )x^{24} + (-211478275848012282909790467072a^{2} + 15965488173811827853140662592a + 147358433697818990238479066848 )x^{23} + (335097607898028620915217479752a^{2} + 70223419805249232440273969544a + 319307662136393995082846201888 )x^{22} + (514512343535331774484321389664a^{2} - 89249885782548643625781714256a - 144097192123678543554718403504 )x^{21} + (560563681992844861137353603360a^{2} - 477504124795831496772201591344a - 170848399918462156686881762040 )x^{20} + (-431355180205431061104054571728a^{2} + 248324421256602845090793551600a + 303554232449924269882521282208 )x^{19} + (497097263813425670645936414824a^{2} + 360019797899955384599392249592a + 28033151142931206486672277096 )x^{18} + (424421085385396642625862561120a^{2} - 135932457575678255540599876704a + 533869327660649245020112614672 )x^{17} + (-57690319682342278463340113304a^{2} - 372844554947945232263111499280a - 37738192133410843163665850212 )x^{16} + (390354901391363416328427252672a^{2} + 111234325873629789829392413088a - 12665803979807166772465793504 )x^{15} + (-477892796500539918263622661872a^{2} + 403800359339581584078033585664a - 297104653749029872679365598544 )x^{14} + (-207181728075093721097651315888a^{2} - 240934107179822661349816179968a - 518978735774909089075755074304 )x^{13} + (217631909306860043647229667720a^{2} - 628478827302932832891513868744a + 550936429012966806841211847496 )x^{12} + (-601358721224424957563609086688a^{2} + 482402830547201058840944437248a - 504132935552724520861104636288 )x^{11} + (619993851370866800091304116824a^{2} + 343274805535125443656891707880a + 418608442269134175778360494128 )x^{10} + (1894180713322178716440006320a^{2} - 261578993200711160175664778576a - 622897167862570509414120254416 )x^{9} + (146194156897768929249625397792a^{2} - 58589068853389026997318829140a - 508873785627605286100834504704 )x^{8} + (-172626461223946488182122182688a^{2} + 512298640152771356861383977888a - 349842883809434458620644209536 )x^{7} + (563847303709968129147218669312a^{2} - 118991974000703407845061462240a + 300592718010632846206970255696 )x^{6} + (59230456882382633272232324864a^{2} + 631708132908926719644226848384a + 266430181730977110598379024576 )x^{5} + (550201618460780965030939882232a^{2} - 532960676270196150655859154072a - 305904204144797076205078176160 )x^{4} + (246656496714727764198300540096a^{2} - 159578706341602953125233094144a + 282593480797980099721357141248 )x^{3} + (-387864737363440217541693200992a^{2} + 494391911710101425053987185632a - 613255522726927972827607267552 )x^{2} + (129734377083813254797550336848a^{2} + 250953812129575694339874022768a - 405051302168585347343218876000 )x - 327031207023109054915936889456a^{2} + 113587045233542075892358976752a + 293269515622641298226157455700 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary