← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-438478186395448632098745063328a^{2} - 279752000228846101424347880648a - 406940870177839108157411769744 )x^{47} + (-182745952100358867305618754756a^{2} + 126220454543983692162029655908a + 284950756677649259328407042632 )x^{46} + (615670711771266093545559326584a^{2} + 514175924821818057709233260992a - 165055473181317455460305495624 )x^{45} + (-174141933404900582494644918876a^{2} - 342128901277717138811506215556a + 214864444216632101783327427632 )x^{44} + (415980938291291813767484014584a^{2} - 39083853478135131708334293832a - 536990446845739486553657791504 )x^{43} + (-627971940250415303463684087904a^{2} - 435618450377671914746760360456a - 199252270451015841508120713940 )x^{42} + (-198849220499631638148396428336a^{2} - 476975568077813181476808402648a + 29330581959645425301712236960 )x^{41} + (25540232533122264463627151428a^{2} - 633746693206427808476883628716a + 244481369359534136788322173844 )x^{40} + (156959954220043240650238585184a^{2} - 164835535162624016284550883168a + 314608511925843529236391733872 )x^{39} + (-168478707255429602191987606432a^{2} + 415823517248401340658457083956a + 311655939696148014438455796760 )x^{38} + (306875377617095694664201078632a^{2} + 297615381925432842398377625312a + 430199151352120055554591791440 )x^{37} + (522398874734089688270807666416a^{2} + 25574825207242891247169111472a - 150240623529551185231551042812 )x^{36} + (-442688549600459525181052589872a^{2} + 36352833186715002040535185648a + 275235461808791967527169938192 )x^{35} + (286136852659981965735180783420a^{2} + 74533519669710038629438423732a - 465164785949117731040342567416 )x^{34} + (-414256631676723807712895211168a^{2} + 375090676641246861724732490992a + 481941094545750904710652949912 )x^{33} + (194602517879173056195283529728a^{2} + 373594719855360618600278407106a + 124239980037655253411257148220 )x^{32} + (186176399639160079139937135856a^{2} + 593992207763994388505773708976a + 588453310795217784023407828000 )x^{31} + (-338117269332046974654305246696a^{2} - 208581736253516977811349143048a - 480985975625969103562788440648 )x^{30} + (87981669478767424455334552576a^{2} - 254302392492414430768518516120a + 462687998910642750256945551152 )x^{29} + (-594446601877641921713885328700a^{2} + 214483469210700355225214402788a - 518685766008310626644925805272 )x^{28} + (590441811718686535929212290544a^{2} - 425186528974631127579341547216a + 146900561404606368920177732608 )x^{27} + (-145375712541642897090475023456a^{2} + 525932392300719387384778230704a - 111868777132269362305138650176 )x^{26} + (574412906406951712506322285864a^{2} - 498552860274114612526776554184a + 572279920090296084609803915104 )x^{25} + (-318861429416874218360867405504a^{2} - 307983161712874245563934684296a + 241537424908570750855914157748 )x^{24} + (-559623203633910953655839628768a^{2} - 181618019495107461950524461984a - 422368165056049673726319299584 )x^{23} + (-536983979961778422473966074520a^{2} + 109715592750174182315598365208a + 593779537778044122923516966640 )x^{22} + (611228888108024277605530596448a^{2} - 540183384521835198890860733584a - 398361278477645240314363292624 )x^{21} + (437295262302785577401753730824a^{2} - 559366394370385504396987248808a - 575299986323243112977787395968 )x^{20} + (220936192763830304889127045840a^{2} + 259825555441107810494511065136a + 536274523514474100621645260576 )x^{19} + (-372342159577143767026182310840a^{2} - 147307692736750648466379218344a - 12421463500239596586604301256 )x^{18} + (631471020807809087925940963712a^{2} - 64331514808842012289217166624a + 462090758632697509133862135216 )x^{17} + (200421870631220725994905927752a^{2} - 633690622695240393713176624488a + 334487501871670131407109305484 )x^{16} + (208435714524760796159720571520a^{2} + 158788018438271239319078542560a - 625855717801122960082865696608 )x^{15} + (-166420759311665113401804155088a^{2} + 612578438314119502787298827040a - 269582210695917623623527948080 )x^{14} + (-336010457396271293919524310768a^{2} - 48030053029881625662785762368a + 218283693239006712658512850720 )x^{13} + (-496375324565053766289760479864a^{2} + 343235381875223242829748881736a + 244492073027308719400717846856 )x^{12} + (598464075050911785761086628288a^{2} + 46778286141130382739946388064a + 406746969007993122216699625184 )x^{11} + (-255586633834486708426600122168a^{2} + 321629354882168963853901154344a + 338705539171708274147743487168 )x^{10} + (-444566791956059827390962772752a^{2} + 457402934728008842373156254192a + 401155608999526933666749658800 )x^{9} + (19957185490385535285154198544a^{2} + 67719374883249403350341715084a - 560560871705018960880288003344 )x^{8} + (572511644359085832083658306720a^{2} - 615670885515509912797329089376a + 625034743484080112827575988928 )x^{7} + (369311310869040745992949071968a^{2} - 620779251939822320823533810944a + 236660117443055116522073261680 )x^{6} + (378231499541430412866107864160a^{2} - 610676690441252528190438756000a - 465804382982208633449923726944 )x^{5} + (-51032255016409501374555740072a^{2} + 200534946853010152811568578232a + 472137109565467589826941443600 )x^{4} + (300129223605138821443000535744a^{2} - 467951308659054169522079826880a - 176620829943587651122955995456 )x^{3} + (424809848814899341099079885664a^{2} + 356935791187874698454702174512a + 458292292062308492825832526576 )x^{2} + (14470170747429748696869913808a^{2} + 60554788731122890117793471888a - 109875298700451163810567147424 )x + 519742596055058335497969512944a^{2} - 34891889050517115296734080240a - 560653685958079141558851337964 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary