← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (218586962371709907938613031384a^{2} - 574859422389487564030452474176a - 59641305749133138127102989312 )x^{47} + (-414923084009190694532826631804a^{2} - 211735516627036372561220527896a - 124034703731063522999992007272 )x^{46} + (143374289620154799812888255160a^{2} - 338596746930571668100717475104a + 350025450765896089976669491400 )x^{45} + (-481092080834859170166862575948a^{2} + 133163539967419832248511554256a - 439731941275637832255398074656 )x^{44} + (483970240725413781924070394704a^{2} - 276591302727624233614021294496a + 350434566974696591799984914320 )x^{43} + (-537023820191221402637979580344a^{2} + 34367901695294082652361214808a - 86520778938817378162492401940 )x^{42} + (-1467503767786369676338409632a^{2} + 257902063234899637197438145368a - 196580462721172495330353027368 )x^{41} + (553003368628004619201236265080a^{2} - 557558991269112548164057095900a - 586774417628893200291754367804 )x^{40} + (79930271618598264957503276048a^{2} + 301025753466436315838369655888a + 357790641091431764331210892592 )x^{39} + (18627447368590337466037666248a^{2} - 431528193375765452868305786416a - 295355038192222650361450728600 )x^{38} + (-125695557351130513861582586216a^{2} + 602084047993478307257614658704a - 588862448731311523053066105848 )x^{37} + (-409834492853721828654433049936a^{2} - 503816091152746910047289794168a - 525462280337912177928650990716 )x^{36} + (-18294581489560936803098508880a^{2} + 41163140249230479605103281616a + 151654114234792878888029988080 )x^{35} + (-130899453257893755509989069100a^{2} + 319769649891991440018262014404a + 106031035934498753849480848328 )x^{34} + (126165785218713507231311791808a^{2} + 444754192747512507560380550768a + 341626347480953410008751850160 )x^{33} + (-112138776016268168203141704872a^{2} + 382679476993090036189679985838a - 181152600090305922348314002708 )x^{32} + (51020749893706919964432010896a^{2} + 436486961534273616411926967712a - 270961805515248677361434959120 )x^{31} + (246364868535838497634241411768a^{2} + 180165801543175862221856923224a - 254929931616505908154602522520 )x^{30} + (494160394612103279049981866888a^{2} - 265707802477380955553299532904a + 26672465619502459363837347168 )x^{29} + (-539891992044784063484515481612a^{2} + 577185550264326873757669247476a + 341605025364858575529014630624 )x^{28} + (135645043424795427833864913760a^{2} + 339263006580047204660208773312a - 84442454837999089516816057664 )x^{27} + (611014358660882833888711705776a^{2} + 337226819792279133795645014272a + 147877761365685775244295429296 )x^{26} + (209949936135479435899099549856a^{2} - 136440062258984667228826965808a - 132913139360579351607371468544 )x^{25} + (42834016964436466531504711072a^{2} - 513975173996996433303295687944a + 316835731580165704972081651928 )x^{24} + (241885453139144140574386602928a^{2} - 515982969224699105511629138544a + 348639400337921914421652335840 )x^{23} + (317130986572265696459543622712a^{2} - 617692928498830664365403997312a + 423892049630897339149638229216 )x^{22} + (-275435404106464210269419144400a^{2} - 364826613049929422711696017968a + 265832073058358258098710549984 )x^{21} + (485226291126882589155033015656a^{2} - 40082433902866987278580224520a + 517833826819180132704208728912 )x^{20} + (173453367050546906049916711488a^{2} - 376356703964531915050437136448a - 358562662297452918605606925184 )x^{19} + (356811314845692273736247162424a^{2} - 158419866496204475699157876088a + 84777386033192752365351271112 )x^{18} + (84839052202341333717426167728a^{2} - 404634757752064750682171685552a - 230046721198037051569064079712 )x^{17} + (-64048003088148290931296371824a^{2} - 277807163938419142813104909400a - 208199468391106469170186927700 )x^{16} + (-429824877909684142186572093984a^{2} - 127871134045121529614075856416a - 462676252973841924945262320128 )x^{15} + (-106754945068555741678971397376a^{2} - 525924774828511162311902054456a + 514082108630349302710110448320 )x^{14} + (-186527634173401923064035468992a^{2} - 69072487703628476398835058928a + 195725232675306768325925421552 )x^{13} + (-433117181195068888825619246536a^{2} + 381772812507518448376283323736a - 244147554267296834286606434712 )x^{12} + (165984649440027085826773753568a^{2} - 264315249787823537538968424864a + 369532671285200059375169171424 )x^{11} + (359659559649185307459824167496a^{2} - 347329823352334424733122408024a + 150959880529536267691174919216 )x^{10} + (256990585043900574986875434912a^{2} + 161321023049434713394766739744a + 325538797817751370934354170528 )x^{9} + (507647442535185788266555284088a^{2} - 510914664684380216280682970260a - 341606477976035392817745337712 )x^{8} + (209682697991394746745937733984a^{2} + 553504653960295459591893170304a - 136737954596554034836967916960 )x^{7} + (-98279483728890894836458265728a^{2} + 196079743352773056565758412960a - 231208614760717379672675533888 )x^{6} + (422580331278580299742176047312a^{2} + 30863386280281423072098018816a + 206631957560821279096447128416 )x^{5} + (525268185097706223509021131448a^{2} + 387443062647086522691017213208a - 569503575489515488305375509696 )x^{4} + (-493381882530456599519914427840a^{2} - 144662363441450779892183453952a + 20924280164266444502444394944 )x^{3} + (-297334269403069969017113502944a^{2} + 382844741486556701105960177520a - 487257523908834649721349132240 )x^{2} + (391246668067832170835964543296a^{2} - 562067305658616337566525824320a - 75570140176461212773638841792 )x + 155030540052008799143079769248a^{2} - 604995686759615080960367403840a - 19661876664898612502661050708 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary