← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (218586962371709907938613031384a^{2} - 574859422389487564030452474176a - 59641305749133138127102989312 )x^{47} + (-597657265568243831853002330020a^{2} - 490726510369055412466489466888a - 629952595988353578341306088552 )x^{46} + (-450869611817676830108172301256a^{2} - 615713342767877217816439729536a + 55761553683863121293364452408 )x^{45} + (-319452142701279056923578874188a^{2} + 518947087968171843233379412592a - 160144165631433299908203647480 )x^{44} + (-471140930765932569115999155632a^{2} + 239116709143761007913240365424a + 13706425873236842114451464736 )x^{43} + (189614837386762869658092643216a^{2} - 110391793717973723809670429056a + 394241368953434151265010498044 )x^{42} + (533682697252763430225507717640a^{2} + 141470816977064231518174078840a - 489347879899850244904404469168 )x^{41} + (-249018869748014743567762022208a^{2} - 223418523156035151154927635328a - 188183607282687150875896982356 )x^{40} + (-613583218247759497108484765904a^{2} - 380128508803171984576440567152a + 112202137038264596817690313040 )x^{39} + (-474320519162578656498535324208a^{2} - 11844256433808168055462334360a - 619533243280771928798137458672 )x^{38} + (-390573543073362705008207815976a^{2} + 76675531683425213307164102400a - 177569771296046428902516164584 )x^{37} + (357660507045937202561447581680a^{2} - 48078147139094152428667381328a - 53302288477977142587726063804 )x^{36} + (-136861066001515622756227380400a^{2} + 93209765552439450763376997376a - 582964692880643627158483232560 )x^{35} + (-358186061123764858764638350996a^{2} + 553462126052514892894819030820a + 343912970854187185233882195976 )x^{34} + (223942822861672335627695313472a^{2} - 505863329580745109912590348656a - 489037136485161846134105616192 )x^{33} + (499584375045351133667082767956a^{2} - 442295536885492822269412778926a + 327503003027941426529054512640 )x^{32} + (-38664644487746206537307788784a^{2} - 78189908801405568146333285600a + 246138648446509453987421089936 )x^{31} + (610740124994838672645575061496a^{2} + 342717452427206946124902559576a + 473017034128108445616258759432 )x^{30} + (564130425084867379977493258088a^{2} - 478596024482999610157730170120a + 109468541601911074093385169696 )x^{29} + (601086888386430277081096483756a^{2} - 116910097282360813808788089548a - 449197013373526852863481125824 )x^{28} + (-265138432762160090584579511584a^{2} - 38340293424333524824313362304a - 393291934195255620387488122400 )x^{27} + (120351047668903889496103544288a^{2} + 69560982987976351546962756568a - 569080384901921507444037815000 )x^{26} + (479283772850619460871710313456a^{2} + 462291364264381773165629707360a - 399688873562897640857737170288 )x^{25} + (-130474457642714576444433398368a^{2} - 513592620140296349493604943584a + 116059287146772384470519591624 )x^{24} + (440633968477837317382219893008a^{2} - 546946622174971639951736654960a - 156685816246806090204709439296 )x^{23} + (284469180528752909764064382728a^{2} - 192834977179766626057602992480a - 378120199578879285940805420640 )x^{22} + (-450507617619756352798577709424a^{2} - 342016779811491472113834943664a - 122237954401281535366021700320 )x^{21} + (271573966990822839196491301040a^{2} - 10073325294772521811754003392a + 271666565612313839888384492312 )x^{20} + (184834025573876700800658076704a^{2} - 484487076889232760826964521856a + 197076589522765342299978079360 )x^{19} + (-367771482281575275976222966952a^{2} - 299511704042573304807622421336a - 527114896486406523221287575720 )x^{18} + (-161939466923718866952532352320a^{2} - 541863002417490520667950267072a - 63841395961747366040396302144 )x^{17} + (-596235706260406521094335296176a^{2} + 221231423510093299297109966512a - 585585626838246316369106654452 )x^{16} + (-239547671731423105755401545120a^{2} + 408829552118073621914627354720a - 512012438091799737844295554496 )x^{15} + (534924977216952539076396456480a^{2} - 189290362759746570157111959544a + 382628613981147168790053544832 )x^{14} + (537562096560595898354976605920a^{2} - 324859566929691504428425190576a + 20401036940932205909400465040 )x^{13} + (77731698158966009937186220568a^{2} - 89438490553746565787573186488a + 432169930290524738114659805752 )x^{12} + (484517216977763628461611667840a^{2} + 611714608201524226962526328160a - 537487573666482617401028555840 )x^{11} + (-319420161287556748665479642184a^{2} + 204437426311723187443429884792a + 308986835437230830289794520208 )x^{10} + (-466946536226070537993318063232a^{2} - 91967621799807882514956311808a + 104563906368508130264832150944 )x^{9} + (-624643447894357477816310481768a^{2} - 621173007544903977562953640148a - 429774220838456728388559947584 )x^{8} + (-287219553976471622955354671520a^{2} + 471939449135065434415444092736a + 130038186219441705624818493280 )x^{7} + (-628228894921751915818629870784a^{2} - 346210826576512701990909428288a + 261283038125413648206118795552 )x^{6} + (-171126415612020418275761343408a^{2} + 391939037438249540500343589408a - 413646575047218501549931927072 )x^{5} + (-222945328427682032077649846456a^{2} + 628556066781885881910432332520a + 343553752801127579422016144032 )x^{4} + (-620048358141720202199070822592a^{2} + 508798406894170689523270018816a - 441933476464620629451190774144 )x^{3} + (389016468279982305114286802272a^{2} + 322062254842494094946010582672a + 576961659683029067552655603344 )x^{2} + (539941314348904335459426269632a^{2} - 531903957730416652317501508064a + 202845861250852670680381815360 )x - 166397293730494890241571435056a^{2} - 168989411798535057223628426400a - 587213585417879966493300389332 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary