← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (218586962371709907938613031384a^{2} - 574859422389487564030452474176a - 59641305749133138127102989312 )x^{47} + (-299518186618112459947135362652a^{2} - 128952167381618887385594075288a - 159211177848594297375997294096 )x^{46} + (350728184641171712796170348648a^{2} - 549308475448361066203304277552a + 389307960542330449181590948248 )x^{45} + (118766988694773504758253702540a^{2} - 287895052749648565297371422920a + 102100380344233861282448658232 )x^{44} + (124304492521123163765275895344a^{2} + 188083047293967572419918055264a + 131179548236330535007174602640 )x^{43} + (539490598298222017844788397304a^{2} + 371072308138436416543676201192a + 183768148939331445955438842660 )x^{42} + (-100832450840451152098106949832a^{2} + 191135975303933558716767962680a + 52328170318404827963336457752 )x^{41} + (403069502178352797278021129892a^{2} + 449160057675595464813033151072a + 612975852400778410445090967584 )x^{40} + (131516740445133892229055513136a^{2} + 437674502722291847859625125328a + 233608756554180158715275393680 )x^{39} + (466187927831796287232025251760a^{2} - 67764563328233213476161865656a - 336861131009398978233294771944 )x^{38} + (479246284362674627175977565400a^{2} - 319734826917600736959234438880a - 63105485238589650507118729224 )x^{37} + (-76964926737235045266068451784a^{2} + 587552830893308640801972321336a - 349494063730966397044622048708 )x^{36} + (-293736339775877059511902150688a^{2} - 90923939953931172283656865536a + 168978575168551377633603707840 )x^{35} + (122117081628222996629236118228a^{2} + 257417725024704892310727951140a - 384511021225678655173964477304 )x^{34} + (479591375277143737973075176288a^{2} - 115189028868993528625077363616a + 484992149370263854545472607040 )x^{33} + (376622663558087795898231126988a^{2} + 317856810264551626542748297258a + 403106166997986975106651915228 )x^{32} + (-412301554262380595959796744912a^{2} + 252075677793149894337048726880a + 64577385861213677423825558672 )x^{31} + (-11300943037299598829103171016a^{2} + 540353013235679555304888049704a + 470454950876750242254791459816 )x^{30} + (-432982038388473800351207718968a^{2} + 85252918414177722463396555416a + 403909831731885670445199981056 )x^{29} + (153453692516070499481164701428a^{2} - 285277317168939394058870948668a - 332870904019454888450760835832 )x^{28} + (-569667059544788006459349452576a^{2} + 61471880087934147305918607808a - 73210191839995973689603641984 )x^{27} + (457840802394567934783170945336a^{2} - 601651348020872485754846967888a + 10873159963085871494536962920 )x^{26} + (-74165548088125374581210657696a^{2} - 210851968424488491657707626400a + 178222506957672505283715232224 )x^{25} + (335977228537463074360604594168a^{2} + 283603737794216510192891639024a - 148943575008602109922760182120 )x^{24} + (-627461762496767361096421168752a^{2} + 388040980417182326687040247280a + 268461069496371578296419184960 )x^{23} + (220228294899046500833177199224a^{2} - 155181508623820089576036203152a + 499538276761942378270158565440 )x^{22} + (558496336813911049390133433648a^{2} + 195583987672583412726970895216a + 538709311704433561766200210368 )x^{21} + (267634327776731001525549455552a^{2} - 541577747665826944711558221576a - 362134871483050623521994845456 )x^{20} + (-135590013541341146003301751424a^{2} - 609659470313441371390848352224a - 105007206498054535062864591712 )x^{19} + (-195986089830292190032597408200a^{2} + 407519054172707675765917937000a + 73035833473337086071150055864 )x^{18} + (-486782871398100975207497079920a^{2} - 262026561712071591950904289456a + 49649348089093696023677257552 )x^{17} + (-540656752057327985803633011272a^{2} + 125052719729781643874273174864a + 360266410413109900502791527044 )x^{16} + (-496289732413119007298499434336a^{2} + 595092754673397461771539025952a - 323599753381215500527714098560 )x^{15} + (299165447432347858349697767584a^{2} + 176426231823787159526393218312a + 470105834562024416498312546784 )x^{14} + (133489786894446216769774339552a^{2} + 197495771075610656598366718800a + 20496620410403810306409488912 )x^{13} + (-31036028957142870506109891096a^{2} - 62946916491679368851389572216a - 405559140372004242063479539464 )x^{12} + (-414584139411593544114787780640a^{2} - 171158742340638448639088313856a + 213344302417749555286882421632 )x^{11} + (23898814277950824757345737896a^{2} - 198218519394076549035592939064a - 345883681130969608134038807808 )x^{10} + (439641362660867172325978709344a^{2} + 233040911155627924468242441568a - 562556381555750412389075230336 )x^{9} + (101818164522738708023972687768a^{2} - 327162407223803319143042499860a - 184203898246178828649467849328 )x^{8} + (14384809951743320512439560160a^{2} + 298339377731104184350987646848a - 145099393075568700204002708064 )x^{7} + (-55895592929405310224686557024a^{2} - 144678587653795085976522763232a - 116194755767071826613881000096 )x^{6} + (-110032232777222341232906981936a^{2} + 232565261834133225281104332416a - 555855256232379035161240583424 )x^{5} + (399041269481794875846486333080a^{2} - 419690565172034287394403425736a - 383845337928757949690361882176 )x^{4} + (140995061887824513372458532288a^{2} + 611571089892522712801913052224a - 490266895925950041277388186496 )x^{3} + (-388500451100902901890378534432a^{2} + 619536378747238109908586045360a + 376803257916179870930043582320 )x^{2} + (-280035472850891102765439732000a^{2} + 261418877350211217097813417120a - 29417424357789550212532548032 )x + 261093490740620008092608330128a^{2} + 157384273561136086334904468784a - 632032079887715388657869455012 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary