← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (218586962371709907938613031384a^{2} - 574859422389487564030452474176a - 59641305749133138127102989312 )x^{47} + (-590549561601070185172395900884a^{2} + 567674248491947849410685906552a - 258629403761849700508804569856 )x^{46} + (-630594403487682443721366060600a^{2} - 375847750223807801072280347184a - 328620605289584928794835881848 )x^{45} + (-541230839228635278123107767268a^{2} - 293240665926283197688364492760a - 309141708308793659230678918304 )x^{44} + (453509946261481218030612201872a^{2} + 371318884115139042459790046960a + 59433100501840368921934196832 )x^{43} + (-339349287912181921117782957248a^{2} + 221541541187299177814140780096a - 505360276727980671830687507100 )x^{42} + (565133663293326915716901607728a^{2} + 379247166265537784001172107304a - 333278770172786819427906519824 )x^{41} + (401765327615569449406602210756a^{2} + 166965837219851902029743151668a - 317830146239782291505410760688 )x^{40} + (363680580549736957536201237328a^{2} - 419592071159942570726815558832a + 485795662547668116361995872752 )x^{39} + (-504387788545029419274403954696a^{2} - 99786165951524091447573804848a + 596004958272830483106697089728 )x^{38} + (-599615121248245108629294101736a^{2} + 497870927382487518865130984464a - 193508454298967050052871564376 )x^{37} + (628712331044967064451135932712a^{2} + 388008774568778125548020706560a - 625862271953733087450572022852 )x^{36} + (219521163053821293416379837152a^{2} - 300139222293855892224666224048a - 380717446244036877137235822080 )x^{35} + (-467279164470745564214632460516a^{2} - 325734343125602752591915141676a + 589926449236029991722941110520 )x^{34} + (532567202626436980019737383328a^{2} + 384707678939690653558188117536a + 82850393518277933196510844784 )x^{33} + (515666324099436232397571945152a^{2} + 377293308480234383622119572966a - 416163934732618000371745681288 )x^{32} + (256656644839897495622594606896a^{2} - 518905432338270092567093621472a - 85512692316944602044324029200 )x^{31} + (-173051763980936855728238785096a^{2} + 133715869411130791321527359208a - 380066834970251346396229778840 )x^{30} + (-268837049148968662151346943832a^{2} - 410328359821812297112388896712a + 479097525521252449775179571200 )x^{29} + (-47776510754953489237648983044a^{2} + 454568486810319874485439152740a - 161545070541175883311050509448 )x^{28} + (383437901780070913217551010144a^{2} - 69585149486395879033162352832a - 50217468946063496091338543840 )x^{27} + (284344534477721838080435780296a^{2} + 546154990942325141349084651064a + 534559276220699650582305967648 )x^{26} + (375845195916492476474555828688a^{2} - 178399351401129684398259476208a - 609730551145605351632201403184 )x^{25} + (-401708709697642260062489405896a^{2} + 303108916812381415034046758584a - 297603278044973977790837056184 )x^{24} + (-267663973618287236591564187600a^{2} + 332141327227729571020788226416a + 242561262714012716599325975904 )x^{23} + (281080516551370529327828928424a^{2} + 385774530435670916304449324080a + 547405070123971029360682557376 )x^{22} + (282470778585419148819179023184a^{2} + 43903397685929886620182026416a - 405781215106177964016871243136 )x^{21} + (410927272095390021170541537656a^{2} + 354343568017000721969619659312a - 436822758570322661396386515704 )x^{20} + (-613568664198787236171886432096a^{2} - 358013053964252431601772479264a - 68270022907307684946189845408 )x^{19} + (-366817639865943368835045783112a^{2} - 482335005852625656539058650488a + 580665064108111598322046308776 )x^{18} + (-175654137810453344996282444864a^{2} + 313180590864371739113686930048a - 47276665027406394767596920816 )x^{17} + (128775778638500917125209968104a^{2} + 632413663053907012944865344344a - 233350482026173812287310172108 )x^{16} + (243701287042622880308825626656a^{2} + 393543907512642305945081355296a + 527535230929241480292748582080 )x^{15} + (464937422583359125771501596224a^{2} + 557235318209046829916786095752a + 174957969840080859782886612000 )x^{14} + (-529419120898156389904262004992a^{2} + 345332521711686547849996225808a + 168636465834696808154991617520 )x^{13} + (100733337005577747045530071720a^{2} + 71187893491852251132782085848a + 177117160202745157436023377800 )x^{12} + (87754131970727114038995464896a^{2} - 476357936914533956025176772480a + 585292242018768069069930390432 )x^{11} + (-121239428557676679041405307592a^{2} - 63774057544574869249956547400a + 517986876752470654963570260448 )x^{10} + (57463604218521675052496149184a^{2} + 390974950647298306835725477248a + 94513833101382601654916831552 )x^{9} + (317043292584568557582503526584a^{2} - 120287233575624922258661484468a + 475212675754253699875955839328 )x^{8} + (524711728076602788583375282144a^{2} - 435917446424826924865363865536a - 528537188641462284561706818784 )x^{7} + (579476423441518137093664893856a^{2} - 370582469021215826605955486400a - 86653863937562971597603814912 )x^{6} + (494397292991535370058948791696a^{2} - 67936101536801066319320870560a + 295135467956358700136284636416 )x^{5} + (-338781506313918723899942495352a^{2} + 225520893243576123124464441064a + 119503142504791562711119971040 )x^{4} + (-421033863727224018178177623104a^{2} + 446648111260201138118879224256a - 365765309973585200611826110016 )x^{3} + (605557303489648975500684815936a^{2} + 78865870961276968592101259184a - 261584614258932821213545643312 )x^{2} + (247447373404331699261104319328a^{2} + 41111884585840402790989346816a - 59715310433874900066916699968 )x - 88717075713930167362022035776a^{2} + 177565332195991938309829522832a - 266098321143201320190231824292 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary