← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (218586962371709907938613031384a^{2} - 574859422389487564030452474176a - 59641305749133138127102989312 )x^{47} + (496410370805808561065594447540a^{2} - 57999556017150667127956476432a - 595507887980872678158187853592 )x^{46} + (44200798811338990214935427688a^{2} + 592888138687746995104525409888a + 74276587270475277059138192440 )x^{45} + (-45027163789414928595992850196a^{2} + 316775639909030885487699325040a - 70090542457383133884907580984 )x^{44} + (-282513793068183825356029959136a^{2} - 239674908418511029466656310848a + 389342055164524959300867133120 )x^{43} + (495583507406961788001640544848a^{2} - 344593364124677888571621836440a - 379550242279674358591546878724 )x^{42} + (-306712042528539443802696891448a^{2} + 575884664240214491319303856832a - 300907344999856467370461088728 )x^{41} + (589347460014214456963234830088a^{2} + 32645993965063665158964181020a - 47996695808374200212715932004 )x^{40} + (25920049945096970015187776080a^{2} + 45300961017558774093271747248a - 73077045933872189636172671120 )x^{39} + (26764745453977961317662937576a^{2} - 102721508585349046528366797672a - 591266286257763353870237050616 )x^{38} + (-305177977267181355687319809784a^{2} - 15102023568007192652241907680a + 229807502274545335826441364120 )x^{37} + (-215096088413362503992883404800a^{2} + 201449197380703520586544283000a - 569834792037764825296386817188 )x^{36} + (-522831418386340340304509549424a^{2} + 619393594424929517558821972912a - 216238577888401930832916209040 )x^{35} + (434713126348926390889089492484a^{2} - 36622073190471542271714190244a + 469307908243521488572205212760 )x^{34} + (-596285077091933348455470341808a^{2} + 530882419095911405447909229664a + 405766988554824887225909676064 )x^{33} + (529193926377783456957317956672a^{2} + 549856923729257071591161503138a - 182894789099336092906184625004 )x^{32} + (10934323513085303168483062800a^{2} - 629904552813397432746825345984a - 168519100369861801152952936176 )x^{31} + (-422078175683180133989011429560a^{2} + 424541894481143730049346321352a + 299837503028510142087783305512 )x^{30} + (274121849047755715122887431656a^{2} - 55630904556780364705729165000a - 286693749516363362148414563424 )x^{29} + (401107522112309970556512652740a^{2} - 324407636473075404085373072644a + 29942016569105186344815481360 )x^{28} + (486206742760351747530950956256a^{2} + 495083732573844490789669732768a + 236158750157917300718008900768 )x^{27} + (-83331489110230337402087698816a^{2} + 567723649096169812549742283992a - 296375774342944754944021675616 )x^{26} + (-178409163540253345998863827808a^{2} - 450586389513918839117558651776a - 440869920516814539211291329744 )x^{25} + (-301356046703921282106321285120a^{2} - 84526641392158551496966298072a - 101016087491330072296362148096 )x^{24} + (-618793307648075652509978631408a^{2} + 527440216258659884871168597968a - 383034826358289280748238383968 )x^{23} + (482726515949698695926971083800a^{2} - 597431402782929036530563923872a - 71010952775209508967185041216 )x^{22} + (-419154752646064646745825395056a^{2} - 151546922747178798891033103856a + 601090517198700455939465512416 )x^{21} + (248292814993521223806936665464a^{2} - 403580015551782223823619913832a + 197856274500673959562554661120 )x^{20} + (-544234379407200230133364122048a^{2} - 565147907061956019823127494048a - 394976937353252494190814895008 )x^{19} + (550133858216327651950940898616a^{2} + 52249551682933285482359902200a + 2631533757512331082816302504 )x^{18} + (-285043090958199698799493820160a^{2} - 87188458018354246382697071280a - 205462506089972179433606305472 )x^{17} + (153853649643421902215005332160a^{2} - 906013304822434206123598056a + 80040642066607872992668306316 )x^{16} + (-535365544727537916619036903584a^{2} + 480733146673262087376669607712a - 506620489308649283716255080320 )x^{15} + (237171521798872170551376256608a^{2} - 128226106740508801732618017784a + 113076451953207144378677880192 )x^{14} + (480824540065660156118785783360a^{2} + 394001601983869376711837777840a + 511243848156860469221631205232 )x^{13} + (126210966204682855136929432504a^{2} + 72744529495666850524813273064a + 454540159273273892473851729640 )x^{12} + (342935697048077029226937025824a^{2} + 164397253151455209409798677664a - 401937874863951045560904278240 )x^{11} + (462433653897724057503106535096a^{2} - 578869047122143795709297225080a - 492356466256899731254265889424 )x^{10} + (-544152158840963673416137065472a^{2} + 379683092175283654400298403744a + 160779166842560824205506460256 )x^{9} + (387888987462263316072757782584a^{2} - 31577543277193658056919341556a + 554575901396547222637332436656 )x^{8} + (451336816700250298034358671648a^{2} + 449187064698723396025499689536a - 528984860691615453138832463136 )x^{7} + (-407790310213255549364495364064a^{2} - 565491715418667687530328392224a - 564457716232049917078939918592 )x^{6} + (-123451154815953198102424008592a^{2} + 312750554348438937713735100000a + 410470137011712949938597651040 )x^{5} + (-217518606600986594982487396216a^{2} - 232929859962570576591056673544a + 523330280498249309534133818112 )x^{4} + (-350895450848911179850609843328a^{2} + 587027426670037533715518619456a - 612505827544893637958399309824 )x^{3} + (560782892551317761800516769856a^{2} + 252340282263441623866306994096a + 21705059178733862251621849680 )x^{2} + (-213884562890313463348583745376a^{2} - 571057565675268474308855320320a + 291890607301574419202280272672 )x - 351045030553848816857158445152a^{2} - 385576639171550014266065556256a - 576196830140346578832204535460 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary