← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (218586962371709907938613031384a^{2} - 574859422389487564030452474176a - 59641305749133138127102989312 )x^{47} + (499249247026441107902413839228a^{2} + 332618331323548034126451247872a - 444108422513890141367847345240 )x^{46} + (-314259033553108347931374607576a^{2} - 605006328218843517950912298176a - 250931874434139288654865016888 )x^{45} + (-616869158522767418451881466164a^{2} + 124377896857966568179633016464a - 4163906644368946532991853632 )x^{44} + (-96961163068274284658588571744a^{2} - 605490129193872781743529073456a - 302226186959887155699326973712 )x^{43} + (444317965634120760581740906760a^{2} - 14543138539149951047955231312a + 236507837102138064797375342876 )x^{42} + (507282465750883694076650559232a^{2} + 501316306149502548277842632304a - 569809924526566379784258919024 )x^{41} + (369198671355248886181086140280a^{2} + 504819539263037586236411162144a + 524790807388505598539394844732 )x^{40} + (344435239070327743429779260400a^{2} - 377857232308902354823310435344a - 281801503161972535941591606320 )x^{39} + (20597627898408948525570424752a^{2} - 151261866776502549656026131904a + 547971132475180213683454359424 )x^{38} + (-303457406796733102651021167864a^{2} + 338682007995776919193729849904a - 570218568366740268925425557976 )x^{37} + (-609501793024115732147380825408a^{2} + 493908023679209133138621221600a - 119311641208334316714129817668 )x^{36} + (82175877760251449321710240464a^{2} + 517449151962816300048490536992a - 548169299545307570394707861008 )x^{35} + (-461212272463591655034547506884a^{2} - 183956585911458809155067474116a - 58292507646097645745186731928 )x^{34} + (-601908826452098172950353759856a^{2} - 149619065525038136219850985536a - 386945923400075440964926919216 )x^{33} + (532725031417236257586628513684a^{2} - 210812818333385530755549350906a + 176086745851214485956116290168 )x^{32} + (333777037613750721664281515024a^{2} + 5326327132738251435984761216a - 362405840063859635346855186064 )x^{31} + (238986915402668396723263716520a^{2} + 576566891769196873371106642184a + 498623650647937925893025116392 )x^{30} + (467866067426614873360934903496a^{2} - 26240317851040008660388953896a + 314818081788912622586709860704 )x^{29} + (-621336743833032128920177539380a^{2} - 600138848392880697919490643556a + 607796796947108655576691679312 )x^{28} + (-525853616429680298783975928480a^{2} + 431088383776376773122946290336a - 530608372742086118215171157696 )x^{27} + (114953527993566631750272897120a^{2} + 596468346597863106549664191472a + 571134513611921760677414130712 )x^{26} + (228394340416336841653023291952a^{2} + 31473519763181302426463243920a + 258806493045901167680626527232 )x^{25} + (565286751675118916117955367440a^{2} + 315321621079263809012989857328a + 233450508923654460646751111648 )x^{24} + (-320568705813099234023972500112a^{2} - 119780161219484530459431572720a - 591855373986583900923517580096 )x^{23} + (603223445481497652271039008520a^{2} + 180528036493519246589309043040a + 309220117408447109986851176320 )x^{22} + (553630781570294007928921699632a^{2} - 440023411921448349896425288368a - 348502617090024668560242656416 )x^{21} + (456570374063944402246338030048a^{2} - 2614225955751410133875245440a + 549174315610855917276071138760 )x^{20} + (-333358271506337339969507605792a^{2} - 458769963437880241607139476000a + 348040695955050170303948978784 )x^{19} + (312734693323197571115186452024a^{2} - 463488739313664529306011809928a + 239345932844676791080296373688 )x^{18} + (-32385787033135312312371216656a^{2} - 367896257213977400056983267712a - 34807909642421253326604297248 )x^{17} + (-632030922893818792570270769392a^{2} + 34584020409075880411396693056a + 589975415824574635965437583996 )x^{16} + (104555222156544630987333763680a^{2} + 197824185849452056132538823072a + 6670436196420852958623557056 )x^{15} + (-86677175279501235520395486464a^{2} + 397893122002720636835561313672a - 10849625221599265897814198080 )x^{14} + (499164250976439710980835487584a^{2} - 570305616855946732832283111312a + 49733816991120358665952866192 )x^{13} + (-5837502886427026356647606312a^{2} - 13319210052940317640814328264a - 421330623000568394223961533576 )x^{12} + (-297649709957195167530235917760a^{2} + 126433242219963361172556997536a - 548703640073288917355064970496 )x^{11} + (-44378100774259117253102898424a^{2} - 377560996954225470342255582216a - 196432042545602999763185258576 )x^{10} + (195261840828413526847573385120a^{2} - 474313927585908927420704833536a - 85982240182285287232608164128 )x^{9} + (41571047739563995148129728632a^{2} - 189061804564598320585670170868a - 434390289671930895176514317472 )x^{8} + (395937868798693527200692339232a^{2} - 39235562743751961317184839552a - 84178308587902597956899913248 )x^{7} + (-267780993801670627656211649120a^{2} - 93112552549683799815027013184a - 447185142952924271788227189344 )x^{6} + (-119396536896229889923929498064a^{2} - 308678902043658837534306265088a + 216408597370400648904722295072 )x^{5} + (-439247020022235798035683714152a^{2} - 188805868442027270332169609528a + 573941103573108575340397658464 )x^{4} + (140401772863048370744506238336a^{2} + 398563308118598859225060501824a + 84241074627139907031905508416 )x^{3} + (396372591305159497987036195360a^{2} + 287549425487371792992816401040a + 41885092367604363493081827376 )x^{2} + (308318069622297452133049083040a^{2} - 603422725429238888682009433952a - 103767392554592867281009693728 )x + 37706623786289499389456267600a^{2} + 495647330020414156438168814336a - 286771216355348997644333170084 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary