← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (218586962371709907938613031384a^{2} - 574859422389487564030452474176a - 59641305749133138127102989312 )x^{47} + (619533676729722760244315442516a^{2} + 473053268034235535808168031632a + 98289902971041657262205382896 )x^{46} + (-413559480259617545299948094536a^{2} + 200169032979718190582987257008a - 324576020557704476744109811224 )x^{45} + (-49500227070310422736305571596a^{2} - 396483099339938240877113710520a - 160584941342873434047778835408 )x^{44} + (480020412863630679913818061920a^{2} + 83440820667522287189210323296a + 79934417535980746890293424672 )x^{43} + (-285045044877438871794123096576a^{2} - 191765898648263214649330029416a + 420618961358568504468152988692 )x^{42} + (110967511164684538831622662272a^{2} + 122244462707125118652273946416a - 585277228858360848964318852808 )x^{41} + (-21782518259398117498975618692a^{2} - 126267677906374806797445165832a + 240990713727059818487326416808 )x^{40} + (220103975688202804185720243696a^{2} + 417455237921474923292117802864a + 96853468862245940780189795024 )x^{39} + (-165455405769069330997432099776a^{2} - 18822074578373270481128428400a + 455387317881915898186920194344 )x^{38} + (-385830029205516934888369019608a^{2} + 554405740580362841856874192592a + 157961792411434586902914212744 )x^{37} + (573571759773733105030141834568a^{2} + 491846245178158189319543849512a + 439489820735612484610746378852 )x^{36} + (283908400787893035677307304640a^{2} + 56111748946138082081851195776a + 34310438856115402035952041824 )x^{35} + (64290387245575585171791010916a^{2} + 427075327955133046149841367628a - 329520926316409322424723163688 )x^{34} + (63214202104619397924663068848a^{2} - 250456152166694548612563874672a + 223225692081730373094936963504 )x^{33} + (137243427838960508465316854804a^{2} + 210013382977644633323453743278a + 31155457152759877980435425772 )x^{32} + (-90374682393903052650000522512a^{2} + 332331735820592509827035899520a + 215375620391573440354988566000 )x^{31} + (331944349206278462468651844872a^{2} - 210412081196301310029356613832a + 64420943691123607369883440520 )x^{30} + (-610084399294632665069611817688a^{2} - 309240694914608795775879061768a + 503056985192999202130157286464 )x^{29} + (-302865100592535113401785471548a^{2} - 289522889055429827264107732820a + 467139628466866194294495046952 )x^{28} + (527864760960833394277877424672a^{2} + 433720160787371932118672645664a + 91544422111475174771816567776 )x^{27} + (458902632166843062327886483336a^{2} - 204996773413453717533015624216a - 585365714954231009852769556088 )x^{26} + (-631272587369061173149299253824a^{2} - 527549133843840290256244948208a - 1860661073909177163117900720 )x^{25} + (9579550216617727449634808696a^{2} - 62886741349769656769318040128a + 628576857465228535660500522320 )x^{24} + (-290209560516627286592461546384a^{2} + 371534975380441203953286098032a + 336975027686689901008683711360 )x^{23} + (253204072559167267393217614456a^{2} - 120628945503353346997980429872a - 579516582834186404745942029920 )x^{22} + (-349567062827140820902446561136a^{2} - 111557525959325589056055357776a - 35999902994481007144539030784 )x^{21} + (-427104012538083549120256334448a^{2} - 16243878799803746137119942824a - 582268769557038280772935598752 )x^{20} + (545015396388800759955717179520a^{2} - 174474528683844920234494936128a - 322630777881567481671340900608 )x^{19} + (-326966283886634301220782734952a^{2} + 22551765013064025400516072312a + 607871934083334272346985569464 )x^{18} + (308286410092797387847923943424a^{2} - 30852079034776387341519926608a - 347757754996123126880549396208 )x^{17} + (514078925628532910142464461160a^{2} + 432910125765220296424776825552a - 583162122645259176697266124236 )x^{16} + (-617291708824325581446941824224a^{2} + 494764645516510831932608139616a + 415160983453134111834027165568 )x^{15} + (436550585532612989856200590976a^{2} - 96824747629450401645572921528a + 502457925548507161010419466528 )x^{14} + (-15085001199836558881619638112a^{2} + 143989280444192743883487660912a - 468617619910353195423572075760 )x^{13} + (-544094647420543400226560067704a^{2} + 275848596059057603925530831896a - 260033855872961742065106588040 )x^{12} + (629677046045924923457368358816a^{2} - 515600226783543809396909797184a - 78248383494398976683069961792 )x^{11} + (97372224389192066125572578776a^{2} + 7742015260843155988814514728a - 117490780538264799154963495360 )x^{10} + (318437609175727103438556705088a^{2} + 497370030926907500312521277216a - 156222722192550913305256715904 )x^{9} + (-486824205062535611331814631240a^{2} + 95172629776725701760052819468a + 286393145704684745724844059792 )x^{8} + (-2910809527986819640117277664a^{2} + 273533488747132648114498174784a - 524801392165775127148171055200 )x^{7} + (288772879017270684478600122880a^{2} + 112120773384527017361454996640a + 56310730961161891062983000224 )x^{6} + (1562429148812502463194256048a^{2} + 11463819123295044212744366560a - 330308765857549062005281650688 )x^{5} + (446461755095372837295038449032a^{2} + 533396785036984731549346369112a + 235274477630168539214136703648 )x^{4} + (-178891565619507861799075841536a^{2} + 11092414913404305392485088512a + 581015317341640954039028248384 )x^{3} + (401015359471089654152012918336a^{2} + 42825445978628092042927606480a - 189382534832432718414314320 )x^{2} + (468780023687280048232903139840a^{2} - 49934289982322773150467214048a + 354798363338093130072376352736 )x + 43062874247811171155371520336a^{2} + 29734006833372929967737793744a - 608414010440850328294779224596 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary