← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.444216_765752_878592.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((259077028592953858569835926398a^{2} + 272640874834843826177351976915a + 261714378522231457710561360970)\mu_3 - 149466730154437855868287967416a^{2} + 42149943233077024989015273851a - 33992259146431416398159983154)b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a + 1)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (218586962371709907938613031384a^{2} - 574859422389487564030452474176a - 59641305749133138127102989312 )x^{47} + (-360683909105530733532952317012a^{2} + 282176294076553047717826967488a + 144614841709237208986075478688 )x^{46} + (384927912060865374294955771608a^{2} + 321645643796473918716009423024a + 35611964881711376872964565304 )x^{45} + (-129341934894724965001861827484a^{2} + 20460780547252474303540965400a - 123498876000626546274749046904 )x^{44} + (-615644501550371720916975196928a^{2} + 537472212028207281510337363696a + 521512659422502162951313627216 )x^{43} + (114975613248148895781115173112a^{2} + 460921569900848739264652934032a - 101753041785536318445595799708 )x^{42} + (-275517361526153997359204555224a^{2} - 299457690667581686604339239120a + 134983170378221943020896571072 )x^{41} + (136791957838747998391755623796a^{2} - 44152149187420751164135658508a + 406116939958258299384369384208 )x^{40} + (464765511240609117269191117584a^{2} + 287542000153766488760834806256a + 462324063877472354413466098800 )x^{39} + (177590935200360316574629358376a^{2} + 239151939186935833096483356232a + 72699647784260272372799265344 )x^{38} + (-495777617683551992240839440280a^{2} - 431566025428722854013996712800a - 175914446156252388360715548232 )x^{37} + (393278105673478769889098947832a^{2} + 255559878563344809389380154512a + 319498588226576833177892785252 )x^{36} + (-321498333012921969101519084832a^{2} + 429129043335147681543964696272a + 274404002200014186374813498688 )x^{35} + (-135403033565993101524166301428a^{2} - 532889027381682685351987353188a - 388011635868174649206344849096 )x^{34} + (87175301064941784227213516848a^{2} - 377283218676010546040418933168a + 386585003285604107939266017152 )x^{33} + (508591294279107019177839717552a^{2} - 336800278928354147335781931126a - 36187137285934374447063251032 )x^{32} + (-254444213661122649284408753936a^{2} - 417267056612144722459504250624a - 149940846684655856124532691184 )x^{31} + (-608574861668869656908204574232a^{2} + 470261838959536974091035839288a + 163302838615817175801226656808 )x^{30} + (144224226488660932794318075272a^{2} + 108100105816877922301147577304a - 156314489302816208727401137600 )x^{29} + (382400480757954251237142146556a^{2} - 368251297655444079236412276532a + 173635407493973480898454946328 )x^{28} + (312906184953164839647170115232a^{2} - 502704111324329721298694059296a - 565148609478254706731002188416 )x^{27} + (579046045095898840014220962600a^{2} + 391186417161216171605558719088a - 23439161312827864747892831968 )x^{26} + (-585210689758452083715460721936a^{2} + 111208326816290084387507862080a + 282556625732898609952298683584 )x^{25} + (503392111386489851536884303080a^{2} + 2450836246653757306807989448a - 591747069565479064810838035280 )x^{24} + (-268843892832264414861463732208a^{2} - 276579739318601801625878147536a + 241972574214680053167977700704 )x^{23} + (-258955470853789254504065341880a^{2} + 254086844199234359151080705520a + 178970457583701744039640016480 )x^{22} + (-4301139440431731622690580624a^{2} - 161377093353134424937281908048a + 521346836200293196879794493440 )x^{21} + (-107757819641697694759417297880a^{2} - 561911411170990662462009631920a + 112021579970512853926391777208 )x^{20} + (-252951052691569216875292983200a^{2} + 590775372562730147076275062976a - 162674536164539576947729339840 )x^{19} + (99316531675515113801830771640a^{2} + 478136665529690445462698337272a + 299064075783629510314937677224 )x^{18} + (-561325168083452038526847630704a^{2} - 475851874747886575730920477728a - 559594082543564296603742505520 )x^{17} + (-424242288148664599694150637208a^{2} - 489363386055300309176962253064a + 342633957746825843446436792116 )x^{16} + (-488652868623581190582113823200a^{2} - 320738912101287266402096612512a - 145055828068515248932486809920 )x^{15} + (480385078051780186998645747616a^{2} - 607439466807081123628635185144a + 302016520435225064073611644512 )x^{14} + (-512788502412132447671913075520a^{2} + 203674423519535576491046283568a - 315973846904832996522046384912 )x^{13} + (-378159739680366108189498877624a^{2} + 258833901033339916488363542152a - 26300671227131234522462901240 )x^{12} + (-339462650816580897293873930624a^{2} - 169905586456619855790127190208a + 53133895900124411089506941408 )x^{11} + (-372755818129984357188863941048a^{2} - 111296587378910998064122578888a - 508316156340334960798441189312 )x^{10} + (575350589317827583782259108576a^{2} - 541792943028022936380206742976a + 535515995969417616836489705536 )x^{9} + (-16434759058802816759902872456a^{2} - 131606265917394431909932996692a + 604799117595535583606327671584 )x^{8} + (-207034827248410832589120955104a^{2} + 298508430146886060490993395584a + 79303984795530643752424743456 )x^{7} + (-321516472704618487746619396416a^{2} + 232425139973747095931416446720a - 604457237112912332197641324416 )x^{6} + (-595339365247857460278859629392a^{2} + 192973068400518539255139313600a + 378235308463842118562979597888 )x^{5} + (-248863409868061974835577155592a^{2} - 193351189041970176736367109752a + 83288850711034654086363166912 )x^{4} + (261465070395451783445187344896a^{2} - 8100235061248958331332356992a - 482499765591702304193757962752 )x^{3} + (-480958407950111616305797205824a^{2} - 567932047518056561600705815664a + 168135217761782312818831918160 )x^{2} + (-191829739580403870358056278528a^{2} - 279673229016618437912426862016a + 584011126119071635217321126688 )x - 175192018757519889998751324800a^{2} + 532870299264511279377750094192a + 325539201423099337597811994092 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary