← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (342947025044206591933476530200a^{2} - 214706691005828230771588863360a + 320674031534124732316426257568 )x^{47} + (-159988483620974178968129099996a^{2} + 541392363166778272596771132896a - 582292753429431918428661459120 )x^{46} + (123108920410362312414298507816a^{2} + 7885746120747345028100189776a - 403111134674511037386253881152 )x^{45} + (-483132585974739613337732984516a^{2} + 461247873231369734905206187288a - 10454150097563310313271649144 )x^{44} + (-542707384673170859386684200304a^{2} - 97449880778922856846284982864a + 265605642937186752628966800992 )x^{43} + (-238033901639271821920834648560a^{2} - 35395180694541000168540901872a + 56899979836761921204941868516 )x^{42} + (-96753466819688102791977614096a^{2} + 412422386793411508159991799104a + 303391485219829100142666771536 )x^{41} + (232115065376542931711832403948a^{2} - 432218169867357017768958071516a + 241035645669926354167270287648 )x^{40} + (-309999198965643926337268202448a^{2} + 341597056397519812918897277216a - 553487819793210756275178696096 )x^{39} + (-615852904762528113542657070736a^{2} - 332741213818474634094296691256a - 587799971420366304662513977280 )x^{38} + (225508741788552126932647926416a^{2} + 40259885827530773796942817496a + 285069809324623704842857753808 )x^{37} + (-511039522342842500013533684440a^{2} - 387223685390918944828790886368a - 233217699252703817011658392372 )x^{36} + (121265310920221003088290299008a^{2} - 320185389950963558708865421088a - 163612498099098048220138227312 )x^{35} + (-547062901307460792914719545108a^{2} - 107627232844626819378615990996a + 54303688590787487054278094752 )x^{34} + (-581116043811381135412748382576a^{2} + 624784685644406928279155053728a - 365033912068430345182595083440 )x^{33} + (613142922634483174419766568484a^{2} - 302061000064976832445785014638a - 529155332664633114962888251216 )x^{32} + (-182127984810478216163554155296a^{2} - 26764595709390947649134603072a + 61169534703372929117845563584 )x^{31} + (-456387550253371111858263076192a^{2} + 427151612879098230792617488728a - 195243924964702709568822825008 )x^{30} + (451521371420278144030613112440a^{2} + 514874804836308213158054122936a - 508716237210812419751417562272 )x^{29} + (226274598999581752452369023612a^{2} - 621603495279606204215073487012a - 354009452544504066033084275272 )x^{28} + (-338230420269194817601282079776a^{2} - 274765115972247291395712568512a - 398050359109576489109338098272 )x^{27} + (537189929963564411097241810088a^{2} + 469320673384152972460500795024a - 173960766473077902331484501824 )x^{26} + (478109942267139843459740154848a^{2} - 237721848220873098236670037456a - 557881603218814239441869807600 )x^{25} + (-273355768489706550416226830256a^{2} - 82580825695632993537427479480a + 228672447335049548485224895512 )x^{24} + (-200079713182327219071684282800a^{2} - 487418520436519657040653603536a + 176603390858145662520090502240 )x^{23} + (101487734908711104292501941912a^{2} + 285346514469063877369757292176a + 628764622385387021671227715984 )x^{22} + (-477276359964822198816282957184a^{2} - 332069114935117328139784077472a + 282255318459894255662772326080 )x^{21} + (387793950426428366383344238040a^{2} - 220001357537365124435697495392a + 283779121304863647011262723688 )x^{20} + (247261084745106432229740316704a^{2} + 2974867024650872388053628832a - 328405753957701723864944347776 )x^{19} + (-208660807842721572752545352648a^{2} - 496901233221834628394289570008a - 455160052888469327251811961640 )x^{18} + (529142635491741541327205924960a^{2} - 140137145933465809154244222720a - 271327806682691690086264996112 )x^{17} + (-210020682224079545843453154424a^{2} - 609468527665714018941232447992a + 130555517244657202508519029508 )x^{16} + (-138231771487918055386005057280a^{2} - 330685501184948880858705255872a - 142143447462494798707576577984 )x^{15} + (170284448641987811971912697584a^{2} + 561466176991129822287741881304a + 219255774650600950707602950592 )x^{14} + (69537674421158116370266583280a^{2} + 81944849696370471172202919904a - 48708368117761185896566374432 )x^{13} + (-460877562713721017622996637352a^{2} - 132541387237779979336381519960a - 214491505331106896007814867048 )x^{12} + (-344654346829482229382756786368a^{2} - 377846792514646499175138490144a - 4170660435341564696561152512 )x^{11} + (586628756975961090509822706808a^{2} - 546329602186286338493830684888a - 489233569610216495418368318176 )x^{10} + (135498179530061383130285214208a^{2} - 469376191967509526227095360032a - 182246892063832792261408370560 )x^{9} + (342204785076099044532782310824a^{2} - 181240855702573929945166734148a + 455162883042730997285522244896 )x^{8} + (585538727715551517176456281088a^{2} + 588363666579379457230174239296a - 169899593470020850736170272512 )x^{7} + (279480991249733946771846951120a^{2} - 258676691446103196937075425568a - 518218222146176984396828472592 )x^{6} + (104120009144237904278415575344a^{2} - 632893466063090403440696490528a + 545586118414122545564841371328 )x^{5} + (-347461143879731740643577443672a^{2} - 422570221695162369720443480520a - 624404291762499104730515416784 )x^{4} + (-327115884408977343039778317824a^{2} - 368408499806197078289091103360a + 25333463640477635441590418560 )x^{3} + (-353296152707251315055767058112a^{2} - 213332298535083932934382107152a + 57366179223210303062452634352 )x^{2} + (512455141000833082519112363808a^{2} + 624468458260465684173927348064a - 509995192267992344760279482560 )x + 614721761247012395758760495232a^{2} + 55401500811535385574032723200a - 593173893839083838770755086852 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary