← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (342947025044206591933476530200a^{2} - 214706691005828230771588863360a + 320674031534124732316426257568 )x^{47} + (-110997074269329331734827563700a^{2} + 9542219972326648432474879328a + 606879470803416551431269561440 )x^{46} + (8288519949620010382803645880a^{2} + 257119559810913892382757145168a + 122998398074461800762367083632 )x^{45} + (261816205813822998426393131652a^{2} - 184632666653482461791952570824a - 631526808248967414652315599064 )x^{44} + (-310259751205106464555235861600a^{2} - 550792486634709403901416091728a + 426971630465736835212811256960 )x^{43} + (467077430698720665464767636552a^{2} + 99703461939065810251625063680a - 276494279162226087138390412892 )x^{42} + (-144484332592762937961835647896a^{2} + 184017023489521871828459494976a + 445153811492945199576444984200 )x^{41} + (546461301278158928086411238892a^{2} + 443340103414635232493697041664a + 606891244748919052332447805744 )x^{40} + (219076226093434277783048160304a^{2} + 395826186309540616464480302368a + 529327355046422616359619525120 )x^{39} + (-186087180767783746457706928056a^{2} + 428265554402267736971751237328a + 84037857889894788917828248376 )x^{38} + (-582553878145215570822682548752a^{2} - 180434339395606898224345296792a - 521165141826360228882083883488 )x^{37} + (412546105220320744528121667080a^{2} + 556505990777065959109785579608a - 549336477142744011161388709676 )x^{36} + (-88950018445796868990537963392a^{2} + 508043652673973815521008909904a - 572590408575286915949429956560 )x^{35} + (389531681102996534473941195620a^{2} + 610875585103638377993635114908a + 116131349607464978272768654048 )x^{34} + (-534280883837507788499052595968a^{2} + 145606644574490503732706298448a + 326788064874863331225207493520 )x^{33} + (-24582449568963238861564453560a^{2} + 330945292596961951115876597814a - 498238246427828320106095159676 )x^{32} + (-451850576839122474153901002656a^{2} - 352029158252276003313139105856a - 169700880904315673374485642080 )x^{31} + (-237312986876015620814567228160a^{2} - 442609710014327606838846112712a - 55703162107057456676140945184 )x^{30} + (557936462769738175373659646648a^{2} - 404467900456178101960517647272a + 57114295974874321892007901440 )x^{29} + (-475738780119502120081809403180a^{2} - 462442076352537658835922869044a - 209895476270380947687130595048 )x^{28} + (-162753956170926235037971388384a^{2} - 434542168078653522025646270496a + 329265336726730807535435381568 )x^{27} + (-347436696056235042043376210216a^{2} + 184462338196597141906151347016a + 98942089994403439086614141464 )x^{26} + (-269229464325617308453407910608a^{2} + 203604892975783682332560240640a + 488790063641342078228245252944 )x^{25} + (-11532971733477311787682783136a^{2} - 313179563508290645832882672208a - 416172423125896368584230371208 )x^{24} + (146659236360678685235023073776a^{2} + 153588938807225144957016006640a - 293180988790095500813239144192 )x^{23} + (-159109569564970069975759655576a^{2} - 151620302547221076913950821488a - 9650114736878152816686306736 )x^{22} + (-468437501232306052898323232320a^{2} + 232140060066044158160615547904a + 497261735303178153309079956608 )x^{21} + (572443858503313541657493400256a^{2} + 291462974668244465109073471736a - 128246557750203046026929012976 )x^{20} + (-41383313236120884620455728800a^{2} - 1398894058188233774412753664a - 437935622305688292098692074592 )x^{19} + (-442989105175460567311761891912a^{2} - 499088164562812634253188595720a - 588071362776670067619504337112 )x^{18} + (89059386814675497168206009680a^{2} - 205391945905891999841750365040a + 198214992085369998697435061456 )x^{17} + (-458642259891175470145197362872a^{2} + 373041254738300666540992033680a - 300946312599701681127066462476 )x^{16} + (62843705561479621694088090432a^{2} - 187448772739431704097562864704a + 75277752338325342128636542592 )x^{15} + (-150370809640468334563910491472a^{2} + 447243305345562932072812551896a - 338226897702529897570023616192 )x^{14} + (-310980991193954408645231343632a^{2} + 344703301105702545292693746720a + 80822388012523291110119305856 )x^{13} + (-626167034728713760983110686632a^{2} + 623599448653240023945707550808a + 98363314337806366427537316792 )x^{12} + (-43394884319774819235151932704a^{2} + 446309200916815953281044518240a + 281483759820261474135942097568 )x^{11} + (255234905273530124441389555816a^{2} - 445035502322666278749835181768a - 349071834448573788261883132704 )x^{10} + (-313455883372461248360135354944a^{2} - 298997239489765834237509183392a - 389210976822979456550264897664 )x^{9} + (-533350306584392349218069394456a^{2} + 541130549778335911950713730972a + 2671919941212263887699474160 )x^{8} + (580357468249926513939049931264a^{2} + 512856406369803120116736904768a + 584732347729664355625805763776 )x^{7} + (-401343025483138801393012488624a^{2} + 470733237306177876340953714848a + 56482122348303162730365351568 )x^{6} + (-222145794891991560261786047440a^{2} + 258745118070889362136956039488a - 218830860952512534659232003072 )x^{5} + (-310900755717142432605102537352a^{2} + 4224522365645421051657964488a + 57424642411351398719547362512 )x^{4} + (63065013448577262620273785152a^{2} - 285074128262784562004484405376a + 596754488241968964870015085312 )x^{3} + (106779307124011983950591917408a^{2} + 25755688407962527857349347728a - 144106820024120528728732704816 )x^{2} + (630136671418795154681653550688a^{2} - 141865405548972823809997947200a + 612987598984866321016653503584 )x + 448547324004599062006446638128a^{2} + 305195424848410660625739008a - 328369267437865652247069450340 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary