← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (342947025044206591933476530200a^{2} - 214706691005828230771588863360a + 320674031534124732316426257568 )x^{47} + (-527606648024511104454162759228a^{2} - 563944176715531362571672484904a - 211489037848645235764605070616 )x^{46} + (518300253757240912980673751432a^{2} + 127883800306708344347162680528a + 498776237598826995626392177360 )x^{45} + (531282927400195647152630542284a^{2} + 48365636567538784965852340224a + 497038913781039653355479717024 )x^{44} + (-81051446733374519111002866560a^{2} + 129967751694811887444830028448a + 78095001768794152253188742096 )x^{43} + (297518795974574526660898109368a^{2} + 412194535836146408312783701960a + 506933638571325622055258324900 )x^{42} + (499031859162461563479925899728a^{2} + 472856981463012561805800599672a + 569887346967039667543793651344 )x^{41} + (-592870943595532245660030715328a^{2} + 17217344747387285074460354336a + 176009322665316291490646334036 )x^{40} + (-590925418826279164476414496976a^{2} + 390015028410759295706976555136a + 219867642424456053796473437216 )x^{39} + (-299019929585280059930446096536a^{2} - 576767314613077207198508935512a - 435084050938295237535008719728 )x^{38} + (-612465728363956740419349269488a^{2} - 179753424540615009543852561688a - 18009218781976392620350259312 )x^{37} + (-342503951585530394981528913584a^{2} + 377312033533848619882099667272a - 592632902708582093976737971844 )x^{36} + (-136451713686633761547512844272a^{2} + 68223526417054893615657762224a + 456766091882837712469981782496 )x^{35} + (626247058298074597461634878924a^{2} + 241186393140880639136226635764a + 302282858986347054890549183696 )x^{34} + (469489328158088884190868457312a^{2} + 371229067946282638222769756672a - 422770598482447603268993636608 )x^{33} + (526758299893110571741069193448a^{2} - 278912874589112230067875828102a - 347644974242192824454011362728 )x^{32} + (361030913300359676033966749248a^{2} - 158548582441946959501914365024a - 582678402954475950414914055296 )x^{31} + (-522133655663667227001705962512a^{2} + 11693463572476799013225182600a + 37382205029243791373100612272 )x^{30} + (604597865885129920837394701336a^{2} - 423790068552264183593389895368a - 222521547698923545501276491264 )x^{29} + (-457263217757265867678216316644a^{2} - 460662070274095065095567860060a - 331509399180863977983553993008 )x^{28} + (576478700654956000008045387648a^{2} - 48842725702856617417214875840a - 319935135560965509724825439840 )x^{27} + (-344461180123189104045473869056a^{2} - 619456532124394802666962095256a - 369724473915135618332893912152 )x^{26} + (-18718953271265620641727428400a^{2} - 618204873126506680870062119664a + 585850535606351031575791154336 )x^{25} + (-294545375879855653914074450664a^{2} - 423366475470071291734272142288a + 48695900623353021892239149856 )x^{24} + (597024357943271975706876779472a^{2} + 156540147140063411586002092944a - 81227098285258433685225613056 )x^{23} + (-598306093625783075287858760424a^{2} + 484971038167391927776299485568a + 145898986556149206945356044336 )x^{22} + (504736859667561200521792554400a^{2} - 288602236651347187819932843808a - 184141544554347896002037673952 )x^{21} + (339852859997715382273144310064a^{2} - 508075259187819944955428376176a - 222456025347810901974573198552 )x^{20} + (-301719304127646672972731634976a^{2} - 58142740803496875873486106240a + 14233922034091752953402223104 )x^{19} + (380322252617220679486220561720a^{2} - 357801685782478345421812807288a - 595649294169892564607932325000 )x^{18} + (546543476601184488472517950064a^{2} + 71383654836238770892645207104a + 534544030863069934755111406496 )x^{17} + (-121350169447536424942328661648a^{2} - 619759813484045826725765422112a + 250472245220791687758055503836 )x^{16} + (-124525266788775905872150799552a^{2} - 400612854424313075546933833536a + 218831551624450916620010670464 )x^{15} + (-309056064044649724176332315504a^{2} - 545483766952260290007493558024a - 251324604559623565977744300448 )x^{14} + (-184745953140956738452092783536a^{2} + 365039116561075967972963290144a + 531454325510504317864876416800 )x^{13} + (332729240584217098290022176904a^{2} - 125654736813028596316821452872a - 44974877871956429546970802232 )x^{12} + (91114039179711107141539699136a^{2} - 495140232366713916549361627328a + 590392008132459590590959609248 )x^{11} + (-58149477032862145916179354904a^{2} + 340409189875693271841883346408a - 76528279042282822037244412464 )x^{10} + (323668688434472136007426631936a^{2} + 330556696288330310814047947360a - 4627998568849769770417750848 )x^{9} + (-362688903359114192248500891032a^{2} - 603797024447214439889968390372a + 541252488806027226773315981024 )x^{8} + (-505240736790941893076575477440a^{2} - 301987517824289709281490082688a + 628453705922662794897255400192 )x^{7} + (-63955666591453124724307171760a^{2} - 168521337969929957541825818752a - 507395142917726227308720831888 )x^{6} + (31158990001508975497446098192a^{2} + 455597104493306022853570342272a + 109926864200554364292132390816 )x^{5} + (-102405373305124054213965144840a^{2} + 206039267422286004848980091032a - 220368291451580516954248360176 )x^{4} + (-298347388853006411628890993536a^{2} + 151335519588367931068106454656a + 305530250813976952665351126208 )x^{3} + (446663915060140485755647609472a^{2} + 359201813766993350538823383088a + 102624456644405486474294053072 )x^{2} + (518818411134398436496655378112a^{2} - 318120448659121489578650279104a - 301007118501386842778208746912 )x - 8091242755822537041906935152a^{2} + 506114856079526004843532387728a - 455702578508089436068963978852 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary