← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (342947025044206591933476530200a^{2} - 214706691005828230771588863360a + 320674031534124732316426257568 )x^{47} + (386242002814711032706074446156a^{2} + 433653427660894647929419409016a - 268151668603503078101515568248 )x^{46} + (328779915272503323059695411896a^{2} - 425674670351749896653680252624a + 534501017295195069343091901696 )x^{45} + (-112821221711381705837039387532a^{2} - 530848262801272762153051816704a - 430021843483775526706322401040 )x^{44} + (8708790308772597457186808752a^{2} - 496596885083254459729030273024a + 602456776987603839316076749136 )x^{43} + (565395391103985574465166821856a^{2} + 147983111437265531974673214632a + 346894644191214916939365774292 )x^{42} + (-24724772128763089715260827416a^{2} + 280789367090175189184200178520a + 39645273536314622949246543864 )x^{41} + (-440445858710715017752707262864a^{2} + 357177195596220227049418140668a - 583681935665417333833264548956 )x^{40} + (481725321455013856345876134128a^{2} + 424648005924181364904160161344a - 370511369305552675521822422912 )x^{39} + (497039938234407151895218698464a^{2} - 473722242960815412455466837680a - 43045325579188186858884888968 )x^{38} + (230038920984894780530560297744a^{2} - 199996962924257342038084055784a - 261569955521613436207938502880 )x^{37} + (384376897175418483714732697120a^{2} - 559482611026820799968767818512a + 579347906953300548867007998916 )x^{36} + (236729315619546454285634645776a^{2} - 343164849420282029060392823680a + 150110620197228794103754727360 )x^{35} + (-131104698505354182139024734252a^{2} - 160398802441379201306953475340a - 52657997311322841707654546384 )x^{34} + (-337517978554003414888215266096a^{2} - 449928583076488309313954201520a - 126803989266531613295514383808 )x^{33} + (575420913111236934214936629996a^{2} - 110446977186196494883210147562a + 10248169332335556250446590964 )x^{32} + (189138696852964049134016854592a^{2} + 540455285621327498237813703584a + 143326809238332696388502089056 )x^{31} + (-501651393227304239381689794032a^{2} - 361628958898433224255040831096a - 551970558424594443229599186656 )x^{30} + (629329541737870024622213891800a^{2} + 31254810917356375954039972312a + 279418831553835059860088161632 )x^{29} + (-519881585168357760396533934380a^{2} + 497401282900331392224690130292a - 491392681538564728998510151136 )x^{28} + (443610501342832236709786966912a^{2} - 70729399046296533629906287968a - 272426718573838829519349190720 )x^{27} + (600376471359534478999261840224a^{2} + 297698363091434658351909661584a - 78776388737630903005711726208 )x^{26} + (-329754447210525732949692019456a^{2} - 289454430871291905802111799808a - 134265804546248081681941584448 )x^{25} + (517589264718792377891308490248a^{2} - 464761945845837160018973050824a - 207688698492368913405030080224 )x^{24} + (426917441192839265202578485552a^{2} + 576803378665451864651122617360a + 45814126494252699252253399712 )x^{23} + (-322552186552776488806406508888a^{2} - 484517064366574013719646126912a - 582929688447242247602980060304 )x^{22} + (-525436641113738790207468071072a^{2} - 121939599204651013661387792704a - 70071327112994074494256721632 )x^{21} + (-531529301298202889338139048536a^{2} - 478164835377092134485902731336a - 417477200747367942552888197984 )x^{20} + (-586077636647783979955494984544a^{2} - 400015318964987158762422795488a + 333159101136052189204758098784 )x^{19} + (-154861765278400172957891091112a^{2} - 438656195651341459001704367944a - 313988327255667266597147455768 )x^{18} + (-393257917039275539089623946784a^{2} - 254914436445300594550884553776a - 514706409986156267805001961056 )x^{17} + (-566757168552289360430201735952a^{2} + 37591661979502634493819591560a + 229080969874774376048902191692 )x^{16} + (-223594780310424725824547054848a^{2} - 40711306853844249365937085248a - 13382025134722203072671302464 )x^{15} + (259022040367680752303589551696a^{2} + 491672492898428036440274977528a - 48316745762081940980455398816 )x^{14} + (-128408225836705952607443293488a^{2} + 371374600992400190344568600288a + 598121620215435007213152388928 )x^{13} + (22813352621666746318001745096a^{2} - 179957471742692737904051533688a + 372105136791235584034936125192 )x^{12} + (-583247460463233072125231808608a^{2} + 75700289991781402100378766528a - 394633382678689202902772737536 )x^{11} + (-195454422403103526298850799528a^{2} + 597507161616270024137362992632a + 545168794240164340401926953456 )x^{10} + (618867357924179335520674518976a^{2} - 278448788857374081381429119968a - 269352501338517202890505513472 )x^{9} + (424065399092351047460353537960a^{2} + 187074371274200079895896097468a + 92746874763930613712962099984 )x^{8} + (-178348365983318043202147212480a^{2} + 76269160327445266769686088448a - 211200599915025755299325047232 )x^{7} + (-46888226030311160844438156784a^{2} + 420831187935091763731029134336a - 264130138904490671635980736688 )x^{6} + (519071396014748076739140496400a^{2} - 375320168317079778238690998496a - 2528175038459699976715064928 )x^{5} + (-469543420956992465057651519128a^{2} - 114716222007270544885431813560a - 303445131406591130692178552720 )x^{4} + (-622567830788814224268855538880a^{2} + 144861867203368547299403258368a + 358184794467787889695045751872 )x^{3} + (-587985312305123410801424380128a^{2} - 515543792218944470547440366416a + 350450253090160617464293414192 )x^{2} + (491510488095610655092801470400a^{2} + 126421064716659294502230447648a + 360735320221492374148996404992 )x - 54884752094139583051657323552a^{2} + 21191750723516903812323376656a - 136134395071134136277647784676 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary