← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (482793776895630534366781432320a^{2} - 572947993077718908009559635336a - 432003538283974219965761381936 )x^{47} + (617529213598980893481943687228a^{2} - 335529423486407322895743816164a - 544661113620470900182886071432 )x^{46} + (322526098970831341121588966208a^{2} + 597941554158268815367622764352a - 445825463150998095912938384256 )x^{45} + (22348668369949693318548836380a^{2} + 280214757293514798722729476932a - 133970939034639471537349669344 )x^{44} + (620909944878022484749467539368a^{2} - 161109945667592371884239414536a - 280733029456510734758507992528 )x^{43} + (-514930064099786449531322150504a^{2} - 340950290494132546846596480008a + 27511282251272345809209775156 )x^{42} + (-545155272907508367361475641288a^{2} - 524413548470800697813919460728a + 515946690404081016577913307416 )x^{41} + (434624987889674961188536735080a^{2} - 623416567285725083563494018392a + 621631590933005180975940939496 )x^{40} + (363803119241089463639082589664a^{2} + 106652391978159882795660998624a + 378462478642288854984736644208 )x^{39} + (-429735162963620633446469019136a^{2} + 41805173139090792657683637156a - 472531029174872111232773786744 )x^{38} + (-188032041978036968908199205544a^{2} - 210860033651988433984866847888a + 14524984038286391857987072464 )x^{37} + (-163976394653692426244941207536a^{2} - 265751652160951923703295024816a + 154448471513334498300130061676 )x^{36} + (-490928754762855201946907582544a^{2} + 334052684564502484722637637840a + 56508786366887014468395991600 )x^{35} + (95937636021706310107433127492a^{2} + 90845689792252993479050266276a - 526245160486492055989661353592 )x^{34} + (-157347425855910376222780762608a^{2} - 87272445241485611806978111600a - 258636425371291482239694318680 )x^{33} + (608887193116119195271820747696a^{2} + 244032259580536051688858923838a - 575086621298216287410134641156 )x^{32} + (-614747306702010945091728657968a^{2} + 166456742556245376992282405680a + 607486550937544212112218589088 )x^{31} + (627673926746366703547350312784a^{2} + 91214301038896911684569084792a + 442171650578545872141084338352 )x^{30} + (349977884869162831034522524096a^{2} + 198268361567279838983739739208a + 61208756838675011399475104832 )x^{29} + (-7371426331892291413829206444a^{2} + 292767569642166112171545866028a + 424072908962493602326689971224 )x^{28} + (265016072277229904133260743728a^{2} + 41015348351258851181754838704a - 216917850454413942996939696960 )x^{27} + (314171793191313175556216884256a^{2} - 207978735912477536614343354272a - 489813675807364262756469193936 )x^{26} + (393472839540910285812277213176a^{2} + 144758415281587656683929052376a + 120899942859842588524383578400 )x^{25} + (-543308342876427185195122975576a^{2} - 515481022110827504908139796944a - 256329858944102195299798886188 )x^{24} + (-336993610657239215540947216192a^{2} + 218674377858574729650575062752a - 272377832871070681830137176288 )x^{23} + (-606867009305745160353870738184a^{2} - 442797777362782941528269205816a + 626586792254772971133938045984 )x^{22} + (257595742925629363383734244080a^{2} - 259167543894948749699063194896a + 517926802582750863028100954848 )x^{21} + (-350169299271957883418881194224a^{2} - 289005331801957455033063225272a - 186720528501157126257880092064 )x^{20} + (306747248604840598009822433936a^{2} + 294748463224195161040700455440a - 400219741477649172594649837152 )x^{19} + (-607939858377009490016992762664a^{2} - 367691561781240208365284302152a + 184872573551673750241510029448 )x^{18} + (-93280688231824026324613953248a^{2} + 555484597096682540260208593792a - 103352092310017853892908362576 )x^{17} + (-243791594000737273696498421008a^{2} - 330753046606664264946946527216a + 177976417019167134459768003828 )x^{16} + (-13901767733319666961139650560a^{2} + 149653123522254780882412090976a - 449044814162464194165792255200 )x^{15} + (28904575551693051672178427040a^{2} - 335224128294913053360882197840a + 305223572599286732621889549072 )x^{14} + (-155967519897355421954926622224a^{2} - 502098654701692034230680967936a - 518609230530425486636005264800 )x^{13} + (-61371349909978214879308160728a^{2} - 26951243408721217229636874328a - 119957864118235122306534656328 )x^{12} + (-275842373134356493609240354720a^{2} - 36283099993292979689988276192a - 238185692660388673455076432800 )x^{11} + (77995858123223142766646366056a^{2} - 94762145674707741717377065128a - 605793481256196630497241584960 )x^{10} + (196116477575372516650758452176a^{2} - 37151116882192704342350476112a + 186939010304600729362179216304 )x^{9} + (-185445723858550348417137361216a^{2} - 238769032822150880323616411076a - 249438731500974629687617478656 )x^{8} + (-259139031700052422773396798752a^{2} + 471091701354463056099961373472a + 399858343479692721290984846400 )x^{7} + (596258674315897803864943294544a^{2} - 320375637841637369553984227808a - 286251739427009653641589430048 )x^{6} + (425677399423828998855961396448a^{2} - 291242269731383142287502876224a - 282626288036667427249406947936 )x^{5} + (-9467985822005755851203249944a^{2} - 214276510067198162982627475848a + 398264386989372631496837411248 )x^{4} + (-558982343888399451767127630144a^{2} + 135123891513123644848878731264a + 548109938900169633853600400896 )x^{3} + (-514487033256963032757245745872a^{2} + 336456214456935529527631010032a + 211663471846950430894977847872 )x^{2} + (-54622851833064804213594584304a^{2} + 59078820256789396539557982192a + 37267471570149394587140656928 )x - 266161308855299112353778211344a^{2} + 357515684702030931714856979600a - 371475276103168292741695378796 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary