← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (482793776895630534366781432320a^{2} - 572947993077718908009559635336a - 432003538283974219965761381936 )x^{47} + (163669871150481790181997886868a^{2} - 69667083083728994602291263636a - 262620754039901565514493889912 )x^{46} + (-85576061290502814288017174624a^{2} + 44911814980290546253541594288a + 340017953518102137824165047376 )x^{45} + (570173434707920436390729739596a^{2} - 167605887692682806642126606228a + 239977631367835317450650746352 )x^{44} + (-27286978786007271398896833608a^{2} + 9874025123889821717850160520a - 320053618941888517968843169232 )x^{43} + (-610982169064134793182578101624a^{2} + 234996000495179853797957419496a + 300086130695493109375199659268 )x^{42} + (-190421629317522585417047334760a^{2} - 181228535739713603214366559056a - 431527835696715248309290394512 )x^{41} + (398483765273910695976075987368a^{2} - 391693378908698511083817685900a - 143641554903565467562305139584 )x^{40} + (172924954070625099439057234208a^{2} + 574276819430096518512678169024a + 376331782726540000588703982128 )x^{39} + (288921425315156478481292667696a^{2} - 466561066832988640222126326300a + 598895144773122552439385592840 )x^{38} + (-258805856444973108204068544392a^{2} - 598260572797436563678033093936a - 365564119551229979248034735904 )x^{37} + (527239059737997640215521175840a^{2} - 7789494402490273054816293224a - 13394618622541438896248361308 )x^{36} + (-463417158105474512852490734832a^{2} - 307812594100104647245357042576a + 518271046274426625124063288976 )x^{35} + (-342940097094480994031756391716a^{2} + 502364215233717513907804187100a + 410206849993278155033562523632 )x^{34} + (-138120328208573111844256374864a^{2} - 365778848819820721660043486320a + 426661038521615711435829585160 )x^{33} + (586312937119818995585357121676a^{2} + 494340760649416858528442879338a + 76280080424079545937079161824 )x^{32} + (-492095067852153177965930544944a^{2} - 281584033050088774277255518192a + 615333990995971934271749401024 )x^{31} + (-268210997896834413681922777456a^{2} + 533871647785816920258773637272a + 260471990578037457176530570480 )x^{30} + (432462308615202477320875009984a^{2} + 34219900664062830504989334952a + 167906670467568714962721056544 )x^{29} + (592808295469513620082074245140a^{2} - 308076911857942496570207505684a - 429690048625746473708894012432 )x^{28} + (252119054013233511052220582992a^{2} - 572399556257268572077744194448a - 454279813147720923695708218752 )x^{27} + (587937490048087300581583877312a^{2} - 164653346991568224461322721536a + 405458813220095398306153769328 )x^{26} + (588878131541056137162297809144a^{2} - 210959383012035283026684932264a - 299443941101935298729832370272 )x^{25} + (565979119107003616381563216520a^{2} - 493536391384847557239428634272a - 99547692843030274545137837708 )x^{24} + (263826019813349013271553356960a^{2} - 19351740598971572358989500672a + 418809776309679762638132493760 )x^{23} + (-535564950535274751860080194472a^{2} - 82957076664901566801575680616a + 213648648941504804336928303376 )x^{22} + (451881438351389798152396533744a^{2} + 371288959375363726581943530192a - 187745150641173223110652199872 )x^{21} + (-484046213341144341333436152424a^{2} - 178955677327463578323389200160a + 373231252052809205538254765592 )x^{20} + (-621603063915524532000865168272a^{2} + 277482739737735392302223230160a - 361399863296799769287321296160 )x^{19} + (209471174872402568638214662872a^{2} - 44221189095246682477396367736a + 439898797707315861921570279608 )x^{18} + (320643333228560634487750602976a^{2} + 497342620992543802011731789184a + 477544839946587917845048277136 )x^{17} + (-632743361719881367145890599456a^{2} + 1801511542005818240923426328a - 182275124238375638499125151356 )x^{16} + (144937798010616105577521470272a^{2} - 163602358337345277119541205728a - 415483935636682606469649360864 )x^{15} + (490037442892384337376774969344a^{2} - 553663815890079438843786438896a + 470717464533823160107419676432 )x^{14} + (151853497608207666871509982192a^{2} + 96070382929332746501521819904a - 178591151389367328986915263680 )x^{13} + (-393605676130991662291959932536a^{2} + 78273694131701653028191382584a - 106311337818483837134263251768 )x^{12} + (-579560871875566419762328733440a^{2} - 71316806378716082954906169920a + 495192768225398745591449176640 )x^{11} + (-553191527388049549883581435336a^{2} + 219360397074376872765451261432a + 277059862113885514236131789968 )x^{10} + (-303087124068803673874503093488a^{2} - 351416690906207031776155294320a - 64241729609869150670865460240 )x^{9} + (-286439587843378983820911738256a^{2} - 47927523190160450574229457220a - 543875614662985579537273074640 )x^{8} + (105929518326372520035409786272a^{2} + 141952605378428788667436925088a + 132163204954399576659077726848 )x^{7} + (-5770382821074955206971519760a^{2} + 55079619523713125339762540384a - 203483856119645418401061580352 )x^{6} + (-398480207244350309999999093440a^{2} + 185950627252023556760706752160a + 130361241857832145996822584832 )x^{5} + (-570382314406803287763896076760a^{2} + 266693623837345898486380567624a + 272615853156860005967465736608 )x^{4} + (-272315885145009775582711551808a^{2} + 273270376949235496223104963136a + 282132040473695590711552846080 )x^{3} + (3158380289125499991368047792a^{2} + 339480254400166629822729775744a + 401936576090742193173226120688 )x^{2} + (-20733003613651798600705699760a^{2} - 330432885380022346595121809968a + 153699359366667381936181262560 )x + 587150119644502315429880556656a^{2} - 312037367186733711713018978128a + 615649035945071799675820615476 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary