← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (482793776895630534366781432320a^{2} - 572947993077718908009559635336a - 432003538283974219965761381936 )x^{47} + (425745798043129106002928407724a^{2} + 475842987622611014072123899428a - 460564055135692449403510034752 )x^{46} + (-310939508167056619857556476592a^{2} - 12358026175773841578972349392a + 603336521244963838857325643744 )x^{45} + (438439481346180897545760112180a^{2} + 316690708690716460225126227708a + 490746654760719980850434124248 )x^{44} + (6450277041103311224996613560a^{2} + 386087895686114857176878331896a - 334655901066478009710271965936 )x^{43} + (418302579055255988572604502576a^{2} - 590616861605753883590192258128a + 270302920509848444103602902028 )x^{42} + (-515626759197971892139574142512a^{2} + 247234647711752746859175187136a + 387379914768025634361799025264 )x^{41} + (-375297033523960623921609121284a^{2} - 110180236859472866911091725284a - 225329183734284112334018270516 )x^{40} + (-274446587450504360448212335744a^{2} - 195611043513981363245365927424a + 321890556663916655948951812848 )x^{39} + (40581938260305407899513278784a^{2} + 307766011616807465176017696004a - 240929322045919661847509081688 )x^{38} + (493816101282575836418113718360a^{2} + 545147480734523054832599364880a - 102447163663160334871276302272 )x^{37} + (-92729780481039035616724523592a^{2} + 572318142994040753575090067608a - 418736130800204991700199098404 )x^{36} + (10920403724305674777560732688a^{2} - 195278996110890447753227207216a + 295978843906922590437997984304 )x^{35} + (296252106927231691003019500236a^{2} + 162498746050002527320214778996a - 430030345323064486067771891440 )x^{34} + (-348296301823922339609541557600a^{2} - 601505615165127993451885625024a - 554712535849511044409380129192 )x^{33} + (58805410117922275447317788820a^{2} - 111967748930153318075602233138a - 358208066653443943568240200580 )x^{32} + (614147829622598122276113990960a^{2} + 193833650843137069294482797648a - 2540736417610643366655833440 )x^{31} + (-51404512970583880157947605680a^{2} - 7162366234316311811906507912a - 441026556349839315609352853744 )x^{30} + (-232878079089636998838531102848a^{2} + 513778604537136324092279921928a + 179172434923432420719937907712 )x^{29} + (-469710938958564820290488909244a^{2} - 188603263725192471768238272212a + 177703146255619064105080188744 )x^{28} + (236367015265083400997451619408a^{2} - 86477802027933087442672077552a + 570547679160961188965520091616 )x^{27} + (127203834875173258488111337648a^{2} - 188748288239624870348148150912a + 195504453855821141344068999568 )x^{26} + (-192164574874522022349669972744a^{2} + 117986646409038064849202504280a - 365147190005175902599330859328 )x^{25} + (-81267195084564131942241213896a^{2} + 472513771166703928866437104776a - 448883591764355051003372057188 )x^{24} + (435117510948841674926466098464a^{2} - 587965966245988064792405672928a + 305130128000976178764978066592 )x^{23} + (204320062721129323536639924808a^{2} - 311738005877552546584217955720a + 62615386292676507987950711520 )x^{22} + (221110427316095746264586151728a^{2} + 397014918614995027436328567024a + 172543840545965133575709987072 )x^{21} + (354139512828387738651439551688a^{2} - 376484314587713246972255854088a + 4815098874069593769209482368 )x^{20} + (-316355585404553754534010904688a^{2} + 348186145710448286425438730096a - 135311623326509158529902142144 )x^{19} + (-201371862191046574072383753848a^{2} + 511874651958348789055732840552a - 78999031815196130296874082600 )x^{18} + (53727320717366308415557777120a^{2} - 593446514019957657111034976032a + 535610605875170251227434728016 )x^{17} + (-493638685355321163241779245432a^{2} + 142670613715769632851979942392a + 486085600989598204637567321308 )x^{16} + (-449240834418778109334200891072a^{2} + 298658368411478803037171375776a + 213838536120378098419797998304 )x^{15} + (-30942334650253349010099457024a^{2} - 437685921582673953674460834448a - 364589388606254729776782008528 )x^{14} + (-405531601098381004828559395984a^{2} - 281161489198650351275368012864a - 552266420691511481128294353376 )x^{13} + (-505675106107624512552468096344a^{2} - 142267990497518147241657836920a - 3038525665432668868641021112 )x^{12} + (346115372306816039576364441216a^{2} + 397964344265045690347994574752a + 516157921882917130840721434016 )x^{11} + (-54444266354602256301373206136a^{2} + 492753902156460625399256117192a + 313869597175488441626671444544 )x^{10} + (477917365788368261030411743024a^{2} - 527451280214507218233205216304a - 616284675265201347290282387696 )x^{9} + (-119476964071192469705802620160a^{2} - 373958179189081525974777677748a + 68295586008657751651688109920 )x^{8} + (-536452655569199357957147884448a^{2} - 529845556142045092763045576864a - 484397738555091395181163839232 )x^{7} + (-121387976526059488249330924112a^{2} + 234889406882081305190620431456a + 530154029233218493568873946944 )x^{6} + (104671117649734157271566945728a^{2} - 443565601367922477250060033088a - 367104737171382782406431439328 )x^{5} + (-402621733483511842488886695944a^{2} - 219533598340273661255675563064a + 404308275451921878584070014464 )x^{4} + (-433826305974304911900276619840a^{2} - 544921316587396637098884667712a + 473660238012757505229675916544 )x^{3} + (-514235927396786975674831094944a^{2} + 305848273034059361717346041760a + 78081972952236460559400589680 )x^{2} + (65098694118922020528166801328a^{2} + 30473945562591692411329517584a + 469832725716736540437573579584 )x + 574873777754276868992926877072a^{2} + 48977026647323384442456120112a + 253040040720125776304254827892 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary