← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (482793776895630534366781432320a^{2} - 572947993077718908009559635336a - 432003538283974219965761381936 )x^{47} + (-437042720854532158065897940540a^{2} + 403886767071213359310746087988a - 228242850597696415760009710368 )x^{46} + (241506127889306332595747858480a^{2} - 124154559711583651173728171456a - 397075169933531253201673425232 )x^{45} + (-179547771079192470812526863164a^{2} + 633041484149291556712591897108a - 163322306756898373900179556440 )x^{44} + (-570936945810048405872169157816a^{2} - 391841823841183603568863460312a - 196432933405184808470313172880 )x^{43} + (420428817368547355100261051920a^{2} - 409514128920142057363942004544a + 255171734637935802084076196428 )x^{42} + (29476976104290081168779407680a^{2} - 592847700689546476645215718216a + 394911071965938794193230034312 )x^{41} + (-553972161200096442824799824276a^{2} - 196290217184091652941231580872a + 297892179378127696813555458884 )x^{40} + (-592618423993036794357502201024a^{2} + 256797364920591828572716227232a + 522113860172080252208128240496 )x^{39} + (-88581093263860614638151750704a^{2} - 388501750471010472139898997916a + 444469694586069777264405000872 )x^{38} + (162451005521327772408367556024a^{2} + 84908805666856857923375853712a + 309027238081558197970823254608 )x^{37} + (-628772317052404289055971402216a^{2} + 594820737982823063743764235088a - 421793276279225871449396621500 )x^{36} + (-359610086926893034115986440272a^{2} - 543539525331758675741517500560a + 363921882809053253017970279632 )x^{35} + (-279770330898999756659183647404a^{2} + 551423499376646077399380211196a - 625237602355772713363613164040 )x^{34} + (411588229874609033671655651328a^{2} + 560217874402689739493125152416a + 324344202663996513487214785048 )x^{33} + (138935048172252770842088903968a^{2} + 27899983413420753834267549106a - 97390146966367935521409721304 )x^{32} + (-625927988976781606807606291792a^{2} - 609231921549769450636386557520a + 621705720118689605388712147968 )x^{31} + (539655471055909589623803076144a^{2} + 1068719736156604561909767512a - 240286164924894024956965322192 )x^{30} + (-181597077129088082947802632384a^{2} + 596713677372548716579001671656a + 96181507245926133794867310496 )x^{29} + (-486194714239521248662772229420a^{2} + 445026167948570187487714181196a + 500244149922576147306792293888 )x^{28} + (-184080494905748977871939562128a^{2} - 425361794957353606795595028528a - 421138686337129224461601521312 )x^{27} + (-153157468167600125830191845328a^{2} + 335154563788002396422622714912a + 390747113860460864400108796720 )x^{26} + (381849185931940941575122903256a^{2} + 66780205600471312143276931064a - 437370506622155112643308661184 )x^{25} + (-433592440105978848499445049720a^{2} - 17340829468788892281937982248a + 485270523660179869323467434508 )x^{24} + (34720993454523868230721066624a^{2} - 383514894886658905217270384512a - 302135795596471262030592437120 )x^{23} + (-314979255413547937546682452280a^{2} + 239647177672721463720050722376a - 104634914589963696060209472656 )x^{22} + (-197101606796278327739235916432a^{2} - 341504511996680137588527171952a - 518457813262080819504636092896 )x^{21} + (570750226228469936418388375616a^{2} + 84860326649763363594549965024a + 487656771988294045331607048136 )x^{20} + (252715118972762157888129198640a^{2} + 195159051984790255334026858544a - 14680192594977959458973497344 )x^{19} + (396319147829758236691351892712a^{2} - 589627474331272236804409901608a + 514943543536741202988444337544 )x^{18} + (335908725879875696599975222816a^{2} + 561706933830224730937705855680a - 12666073119246905488265533968 )x^{17} + (-37386297063147149972369447208a^{2} + 222876730790958491037801936672a - 208156618170743657557521253940 )x^{16} + (220137423598718799216980863232a^{2} + 209203644687195030686992396768a - 323318455899483593825389048608 )x^{15} + (581180155110987913603224099104a^{2} - 423462817296366243845178319472a - 39660750133739896692410440272 )x^{14} + (-153474907069424137818577160080a^{2} - 469691285495911744563259143424a - 401256322288825009060366012480 )x^{13} + (605485421302922029315808937160a^{2} - 67760270808462903064102034568a - 285146529904177258825290278696 )x^{12} + (-42684866980998951800846930464a^{2} - 311373887664800601846583924608a + 315360209670628902146849010624 )x^{11} + (246949498593173971286828364056a^{2} - 198445871354318547748646908152a - 522258130374112236385583408016 )x^{10} + (-364056053758835640573764230160a^{2} + 410747726225153899828773134448a - 165731217941261598553614031088 )x^{9} + (308350188278942221750893710736a^{2} + 195433813191432639106716555660a - 616966337809653431204293941264 )x^{8} + (465473020491486714454187787936a^{2} - 360606311864027234869679019680a + 418382005088755751744897390272 )x^{7} + (-398312068781323541904007570352a^{2} + 178149911131182321472951484576a + 357348562143004997400386582368 )x^{6} + (289283515859036258342597844640a^{2} + 625658460736917914317817917984a - 631656033667590039772615837888 )x^{5} + (372455070824105999955651810872a^{2} - 302966776343961328866065099272a + 377586300694992643844509568336 )x^{4} + (430720063179537261461763799488a^{2} - 585747672258305719385512521984a + 511488296548810304857163954688 )x^{3} + (-427697385160169024135658235456a^{2} + 303326694061667587983112498896a - 238511266326791479047987044576 )x^{2} + (40754998263100920042567702832a^{2} - 63000318453399971982686192016a - 616634371338088185183953722304 )x + 544529535184168479473137134768a^{2} + 47856849754176416315960633872a + 547421179110968237468620025204 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary