← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (342947025044206591933476530200a^{2} - 214706691005828230771588863360a + 320674031534124732316426257568 )x^{47} + (169049661956311283338754752388a^{2} - 458916810408592189864874600320a - 458735136273650875013029147000 )x^{46} + (20000351916592794879585526808a^{2} - 222796268930647580884013974144a + 548828310363179552555216353024 )x^{45} + (-81475231888971131087518385076a^{2} - 541924555047152137957102230616a - 463090851062270451204998713184 )x^{44} + (138418216948457356508553970736a^{2} + 103586445528915853315153230128a - 389878168772620232209198955744 )x^{43} + (-433829590546813952417531338408a^{2} - 484530064535205849418273232840a - 584396117630549919722508226916 )x^{42} + (253018698619619128753450895848a^{2} - 401871682345570139063641411312a - 388089590687510404343319726592 )x^{41} + (335025056512156025323950387168a^{2} + 268545892084486927908475686632a + 197399642810456878258857951476 )x^{40} + (-248722573412469689104107358192a^{2} - 437169238357297253609974291328a + 55836486452277162536473191040 )x^{39} + (-600334290816754088456470574904a^{2} - 153716214108002919014655102144a + 37725956760482463670518126656 )x^{38} + (-611637170639565053730284320560a^{2} + 554150046960510381963045156536a - 310663454680446844480056596656 )x^{37} + (101076392300832692478460767288a^{2} - 289392692353255084549656483560a + 104504318857512728662139716924 )x^{36} + (159687576211872823045592596048a^{2} - 342186751037072520535584551952a - 133882058839996228454649475264 )x^{35} + (-213303382659272873953506065364a^{2} + 472869058665996455883718041724a - 291409189135862502327417479280 )x^{34} + (416598711615388274991362901008a^{2} + 601723059832813936051088112672a + 451547954037148484832061530720 )x^{33} + (-158914874262052517115802919928a^{2} + 426633793454851160313991858238a + 103136575801690800783927450912 )x^{32} + (-514172642541671444149511301824a^{2} + 285033865796991529387903654464a - 461272505098057558136055749216 )x^{31} + (71924833813297251468664713840a^{2} - 462922952036078960284247932744a + 515885371448074681125038805280 )x^{30} + (-340902953632599925844418412328a^{2} + 622680343638682682950681388504a + 43894710918846438372852150848 )x^{29} + (-361717871289223217708977134516a^{2} - 73461238595251156090816888868a + 399046482329362787598483385024 )x^{28} + (282154903381985845774187692288a^{2} + 402689000842010873287877299552a + 374649543801878223545546599040 )x^{27} + (372637587224421551248278247376a^{2} - 367722721064006331912690478800a + 338316615320135217760602555032 )x^{26} + (-227895935021326500576041611488a^{2} - 455460357247374614598258126064a + 51852718042277495154046249312 )x^{25} + (402249408026534827899840880104a^{2} - 303970562385441003604043724080a - 339601182394090971673580898104 )x^{24} + (423079630240839102883200841648a^{2} - 30588795781566958532878134256a + 419319042079747806082939593344 )x^{23} + (-275746308157414570620129422056a^{2} - 527083522979197374727989522048a - 167093764489192937210015559152 )x^{22} + (-177947632205686581903015767808a^{2} - 298654374988852732383272830304a - 264723332871053371235341140992 )x^{21} + (574696712805022038055221512096a^{2} - 263548672301050940818989371568a + 359750944003584933011711656840 )x^{20} + (-115172809835428230783990916384a^{2} + 113287263050941794955743502144a - 141642120464435770285229731872 )x^{19} + (282603134957603751248045019464a^{2} + 226865951521568326900952255288a + 361278321761264621292899739112 )x^{18} + (340786327806762593258313204736a^{2} - 584418891771898441782525787776a - 51763212171070518029823779136 )x^{17} + (-422021044370399979635361317216a^{2} - 88487839768603657796445367424a - 357493295636871266252850597172 )x^{16} + (-29548467020391330773853324160a^{2} + 340012281265472550603554285312a + 476394218096926666077687161344 )x^{15} + (140715914548050716291342549680a^{2} + 469631394131826040852906227192a + 145239771157768580874661417568 )x^{14} + (506183586634350431674246433040a^{2} - 150957406123437550893094517856a + 36734802203172916365207929760 )x^{13} + (114029012315388624404544760152a^{2} + 191196980361683921387696923976a - 380699420418689264684234743752 )x^{12} + (605011425905100931383669436672a^{2} + 510080156490278173024629731520a - 584368038340062233492546441184 )x^{11} + (405330582565077373075966417208a^{2} - 216677768930392557119037581656a - 137460586905932123611180970992 )x^{10} + (279622374899155252832787639488a^{2} - 149169396683843947198461187168a - 602713710831813965313286887936 )x^{9} + (-65522858995382448837893338232a^{2} + 534272074550348764486545712316a + 149298865208887889816486763616 )x^{8} + (-192650108775002657726128352320a^{2} + 51662890303633919676303269824a - 489527070821955683978245757248 )x^{7} + (318171744941630920287606012208a^{2} + 69512003081514265053776148800a - 330863449258481208262267534800 )x^{6} + (-57435635085824634005980391120a^{2} + 120892260600425181635784591136a - 22161585880671385178986930848 )x^{5} + (360937926751532215453832918920a^{2} + 351772682038818195894813068088a - 375907764869222476900679993648 )x^{4} + (-345384763652122439219076678848a^{2} + 527960877642895664820179506560a - 479178049102529176925390272512 )x^{3} + (-541813314949592090802697528800a^{2} - 324201800729123253557700999056a - 394038184960405183809810872976 )x^{2} + (429752996914499339313352287488a^{2} + 307084942230999810097928033120a - 164255086453278076635021105248 )x - 401265510697351281872644288432a^{2} + 566154906951829672031259213776a + 378113058078519919992970973900 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary