← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (342947025044206591933476530200a^{2} - 214706691005828230771588863360a + 320674031534124732316426257568 )x^{47} + (-176397603992514085941847356964a^{2} - 417921115786689103429382071424a + 221426808712610024002613122536 )x^{46} + (-352625415978328157515415451800a^{2} - 548387815018686896491856066976a - 376521069503775257516970304048 )x^{45} + (-323569075708324949619303835260a^{2} + 41525634127146290016091288392a + 305001955310166829247592868976 )x^{44} + (430368008223774034569446296192a^{2} + 361505625739228133479163087632a - 574082350460143929483053645376 )x^{43} + (540758239234476187802348618096a^{2} + 66414424763087146952751720520a + 472682008410476792531559016540 )x^{42} + (-25272309498257395419647446832a^{2} + 378991657521166720309691317792a + 280115848950314700878349045656 )x^{41} + (-568628768691103952095829876040a^{2} + 530323150067759714913386035756a - 573522863768256474624188663636 )x^{40} + (413789030988018769884705132752a^{2} + 29075117108023790734921493568a + 283397704054036989917875304224 )x^{39} + (-364106359956571639504798219232a^{2} + 163539020942822407698387093592a + 349726841195132300255204358168 )x^{38} + (230025736916533342766425262640a^{2} + 435507032363650770765360637416a + 538640028905262220064761911328 )x^{37} + (-584403240150556512764327014200a^{2} - 344141077383739026906080790096a - 531573375395857843531977734124 )x^{36} + (414216419917302097261529655984a^{2} + 237849071507122685991987866688a + 591553514688368264172982866752 )x^{35} + (-26626211237657617937555970956a^{2} - 529743967926821373634502217924a - 383068957881960839426494383424 )x^{34} + (504388139411273692564969470912a^{2} + 497924376593198510821892057456a - 83049274947686493351893802784 )x^{33} + (-357356727832500518698638502476a^{2} - 457918083676672781837656744262a + 348422212853275497607882408716 )x^{32} + (213779887650194612192474039872a^{2} + 91912488837138125905401551872a + 543451407308103073650198963264 )x^{31} + (-14147123772563325936087935568a^{2} - 354941355441701096736508594184a - 315643296383726685153805954224 )x^{30} + (573207072487401221060349708120a^{2} + 395516422988543532280428114680a - 596225702937428199766046692448 )x^{29} + (479118281648403002147574210004a^{2} + 308473214330581808798522896972a + 86259831876335198424433483312 )x^{28} + (-383787549322476399653086631680a^{2} + 591027765355741385423819611776a - 147866209386157923913371594592 )x^{27} + (-277921694685479513910767689600a^{2} + 457659056806623803093749552440a + 602388885481917671929250107536 )x^{26} + (-493901094477471922606930005616a^{2} - 85549640567568899406876097888a - 64328015730949977101764272064 )x^{25} + (-120782116992660177153364885208a^{2} + 569719893088113914157264217096a + 52011123159179902801734490696 )x^{24} + (-463339518075741558235379702384a^{2} + 329568805414359531823340274768a + 434692232821842755368174773856 )x^{23} + (150746717580478749355112606856a^{2} + 562662718131745839047727281504a + 128671672528517033335529257680 )x^{22} + (590761252844371265328236314560a^{2} + 426303722041918466839439798848a - 488097008056793059717355982400 )x^{21} + (-414374237790395993844521157512a^{2} + 484089735204377642226248161976a + 89451154603452656917558737056 )x^{20} + (288743317989217922878782600352a^{2} - 229719834992756661148723004384a + 631670731957714009339024954304 )x^{19} + (-41311983185439546901991265464a^{2} + 243503643052531206850298795112a + 600288253354727072369318998008 )x^{18} + (294693443281976391732869994256a^{2} - 42987880512903473700215064816a - 106369673677087844475331831872 )x^{17} + (109528103564743681677076123728a^{2} - 379807266887025281039208994776a - 345401552060476196502605284884 )x^{16} + (434806506883805893923533920192a^{2} + 31961189460972897460020375936a - 7948446287726733120372255808 )x^{15} + (-580347879791592871427641149136a^{2} + 99629464304269280252680641848a + 488151827060232441489355400416 )x^{14} + (-32058887527945209797740828720a^{2} + 610132114373658603926225117024a - 527692423581190277027637413568 )x^{13} + (555383361030657140331352076952a^{2} - 325086577879245410429938439880a + 151586147973406206803944203416 )x^{12} + (-207921394106787170800404685856a^{2} + 620059802329723598413748710208a + 387321720517890080385417549056 )x^{11} + (141591503202065084042969718536a^{2} - 581743793688816793235142539432a - 83370443342153816860736388080 )x^{10} + (520393327383275373843012928832a^{2} - 250121956111396992644914794784a - 238504596483313832678725740480 )x^{9} + (607107725846946940473210429032a^{2} - 98185642536182633009850205252a + 70804510187116950900408072784 )x^{8} + (-332389100146237912421500366528a^{2} - 262656108015058736630762283968a - 284673130169682031484948946688 )x^{7} + (361190492680646398057444715952a^{2} - 243549092158961936521355188224a - 341950216074473239230304875120 )x^{6} + (81244175345129814510442523120a^{2} - 505148725301854129689763090752a - 410688553823602778731528763616 )x^{5} + (260299039439385571051332077112a^{2} - 443062544081669654279149073048a - 37782429258137350270980056784 )x^{4} + (-162471496928164973105897066368a^{2} - 428825230101965259182283464320a + 628628843034498826837210808576 )x^{3} + (96553509761228365044713800480a^{2} + 485557720185265141813769016048a + 270760787433639619516311250384 )x^{2} + (-381699220485835978689390147392a^{2} + 498202084713504705242564223680a + 488592947522110604469380485824 )x + 573727551943619469136517058656a^{2} + 331870177449900017363490316208a - 258856455370061038412430582100 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary