← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (342947025044206591933476530200a^{2} - 214706691005828230771588863360a + 320674031534124732316426257568 )x^{47} + (35813331019484793418169064804a^{2} - 567224167757176826176023998920a - 45043925057532375355411957184 )x^{46} + (-505012197906721649891651188040a^{2} + 560108656178082313244593717952a - 508607572054675192486295199472 )x^{45} + (-526805615021758933566270257348a^{2} + 461095593124744989269652336752a + 619424626428464268396382567640 )x^{44} + (-4889547121412795777764138240a^{2} + 122609365579583114304650339328a + 627334965706627768003176455184 )x^{43} + (506524331383341744235364672288a^{2} - 585952913902554147062268532656a - 395901695667354460589167705428 )x^{42} + (-82811039788368048867679400424a^{2} + 158169268334001375569903304024a - 547632572836981484720659349840 )x^{41} + (-179237146455805620150254430268a^{2} + 547190736403228657415260943388a + 350121661796315444675640434272 )x^{40} + (-215049853452626450032075351920a^{2} + 521348851170211454482624709728a - 474466459012593064468139836480 )x^{39} + (-566730249148148728569411723936a^{2} + 24629250993460975175534134352a - 372753268669362988985150298336 )x^{38} + (-57163125770271535730688825968a^{2} + 48275392422296843410625525864a + 629143931442397800167025586480 )x^{37} + (-223817195087585392381500599568a^{2} - 231543728491038518611454892976a + 218370388828706865505174125788 )x^{36} + (187691191718469102338343104640a^{2} - 432410135107297320674987665728a - 419762716174919951976121339376 )x^{35} + (152037302382004912673374776748a^{2} + 161755265703995436766035297236a + 245346711210269725103155529216 )x^{34} + (-580521755546751183066408287776a^{2} - 506026403185208082225619306016a - 506469851046820481007973456240 )x^{33} + (-226141212873878009906097008524a^{2} - 192375105880840263994504184546a + 367941163129544885992217169872 )x^{32} + (215553683126076577307040176416a^{2} - 476993476324139807495063322464a - 584585672911614380929234721440 )x^{31} + (403455402880051434014917122432a^{2} - 438774588503587348843878635864a - 446284593975837367791221441120 )x^{30} + (459351610268707889766642720504a^{2} - 47824876895387854717052819816a + 42668062212092884852648001696 )x^{29} + (-102082563586239248481480436468a^{2} - 422324873814116352463993593852a + 461169326400288565883649392824 )x^{28} + (207515604878635564513155971680a^{2} - 292281496272479174464362068000a + 315678041851132159859266023936 )x^{27} + (-148909533696769765422802830568a^{2} - 517883457065723051933968606424a + 346860391998605733555618513760 )x^{26} + (-229100006227637299011769396048a^{2} - 45127488675467611050010740656a - 107878375569731800972496363120 )x^{25} + (-624542455267351084140852251616a^{2} - 421128395342764696889906986872a + 313169051224184951811549733296 )x^{24} + (-319850728729696040734597665552a^{2} + 629511147868694715248639764592a + 111493153716295414065685298784 )x^{23} + (-378577653101307883868037892168a^{2} + 612298789500368429356394211664a + 548393131573660048973817328944 )x^{22} + (-489220035003116467036620543200a^{2} + 53380273530297744475483036832a - 462252177698112306567232859040 )x^{21} + (-21127650151137055664186858840a^{2} - 493706034985654628620989420992a + 76298044801247749007779336360 )x^{20} + (-20773561550947486814968997280a^{2} - 188926439546382559315970472032a + 448466540634804643242468267488 )x^{19} + (112287485001173844921407869032a^{2} + 486838650335509868685339100696a - 474995312833575230703537812216 )x^{18} + (-227016693381082916045381866512a^{2} - 66301564345559917111805242848a - 101833439551245178480280570128 )x^{17} + (62596547134157406630256463704a^{2} - 317281100080662067988846249832a - 599460741107355140333316606684 )x^{16} + (568866742102415075239961268160a^{2} + 206680481636772329023763794048a - 566503601227324439912405665216 )x^{15} + (-278830392449652007498380638704a^{2} - 586090362207754921241974345832a - 138249304043224750225219239360 )x^{14} + (-258691810405902550375284190736a^{2} - 594623907113606511930025652000a + 353600665812738453702150541472 )x^{13} + (191409459973183966091300897480a^{2} - 193488490750845571823650220936a + 370078216400818158554769186056 )x^{12} + (-70689170105444948401423150208a^{2} + 612206948812664260425633135712a - 54042521913171422582335576576 )x^{11} + (-266828762888471112288622350872a^{2} + 448186930331132202295385717288a - 523377549325870118153512317408 )x^{10} + (355625491964633767680132417280a^{2} - 422959908370748374652049534688a + 302114856689570843572118644288 )x^{9} + (632457638486899543582484714952a^{2} + 213199531837275729860223601404a - 112155761323486819839816455264 )x^{8} + (119266869642930004407636163584a^{2} + 118541354378666501298458775680a - 418708074685177389221387654080 )x^{7} + (-535151973031916903311541635920a^{2} - 301655141671559674121103090144a - 403625036195062418834018772688 )x^{6} + (-451427938287525577027580320944a^{2} + 548492802637321177834222734144a - 593548685701773355041526877184 )x^{5} + (-176319338992308245510153863816a^{2} - 400401552477531948772225751080a - 157557471820234391845262249136 )x^{4} + (-610487328295317873429791131072a^{2} - 327744795917450984350474012416a + 506979487863739836090628127808 )x^{3} + (181994522525602059385848009248a^{2} + 481043673526552236536197946640a - 21175090543940219152119515920 )x^{2} + (-35551142986707958615030268512a^{2} + 70513481355367518620594431040a - 284063064671833173858735709568 )x - 350727502480293403199954191168a^{2} - 437968274494863433552914189952a + 544198084951880612433501289612 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary