← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (342947025044206591933476530200a^{2} - 214706691005828230771588863360a + 320674031534124732316426257568 )x^{47} + (45088300407587500909481020892a^{2} + 459783076416851443111523186360a + 145565463618580300948919775216 )x^{46} + (222188359095448845318122634856a^{2} + 594643965597829679443732429248a + 397246025604129848826035336736 )x^{45} + (-320309473579751746236048239212a^{2} - 281803743723615083794016695536a + 276486826001186945737656909336 )x^{44} + (-221409867825221119759491581392a^{2} - 601689775437903847778495877568a - 289824688614601362345117461808 )x^{43} + (-182577044907827646872826254616a^{2} + 425907032036257640988646003952a + 136381555698741622699463168188 )x^{42} + (275103975917067927717988578528a^{2} + 211143488431243630801264160232a - 46949413645018330318120975240 )x^{41} + (15974913082930805690011329740a^{2} + 258793219504333939801341917520a - 290948337141780305513368260824 )x^{40} + (135187087216780778098460867472a^{2} + 51869245153882440189996324832a + 87380193269982810820876551840 )x^{39} + (494956645977898247412555832504a^{2} - 489909888481853049494393676536a + 328852239442410237281245081032 )x^{38} + (-600675077710115227251592057776a^{2} + 530847806076542659668101032504a - 121288816344614652857988246976 )x^{37} + (79293520866561535262540617936a^{2} - 167415744271113786300324175496a + 2976044074194894114856722964 )x^{36} + (-459868774157492170902251921120a^{2} + 511095924701070877150882368880a + 225313793506370744517663810064 )x^{35} + (-527950035824240448449085580252a^{2} + 481529052112108982924786855140a + 619682765713377440650292115408 )x^{34} + (-522969386006076337008996186992a^{2} - 235750612998241751559819081392a + 81497321900548542498232010960 )x^{33} + (607742951294683495133374969376a^{2} + 190446163108412469011929043490a + 47629542932083554168492764740 )x^{32} + (348753855327763471777237883424a^{2} - 37885266104980729310129561888a + 604723529587697982963189069696 )x^{31} + (143571888469781702117191654144a^{2} + 360241068651620382145561282824a - 453305034558622319368162076368 )x^{30} + (-27309614026526220714857847304a^{2} + 607361963306065931466841701304a + 235819185932075699509861049792 )x^{29} + (500323109860910665399907601012a^{2} + 570589344727682266945486089972a + 491007789836216031658568763928 )x^{28} + (34516003107599389120117026208a^{2} - 514873909696139137385611000384a + 139544190488395419240235407008 )x^{27} + (134796018424297966386513126616a^{2} - 223825065312413707991260431936a - 408028584185195536986260627144 )x^{26} + (248633694118345424210309161664a^{2} - 493014352813329436478168765056a - 390186639276518302254732707696 )x^{25} + (156718062664363287078533266336a^{2} + 420265139307279951077086598176a - 23842114782751369830081480848 )x^{24} + (554009420088357837473382673424a^{2} - 174424913195147388263029053328a - 284659199042608520789992631744 )x^{23} + (-363801223240676447464960623704a^{2} + 316590105142461244375962122160a - 108847010422033327807128089296 )x^{22} + (610575484914903395172211451232a^{2} - 526592500039113051334477342592a - 563736514689416692785037242144 )x^{21} + (-117195449261023183801140730576a^{2} + 553337277181375174783433719224a + 300911673572220613139721926192 )x^{20} + (-307038215989893330236907761120a^{2} - 367881030530167020831376640704a - 443123717079322645896147100672 )x^{19} + (515511680973990861900740674248a^{2} - 374811917038862768264415406488a + 478017815855572443030314134904 )x^{18} + (570445461045859545670491528768a^{2} + 604237210614426323687591807344a - 209230243256760474578066906288 )x^{17} + (-50527735950129443255161134744a^{2} + 467963361797541099671192705504a + 278495724825510967850727880484 )x^{16} + (-315827248573721226245644629632a^{2} - 436587151857046502198974900864a + 487504887455653528454327683840 )x^{15} + (-288373822566766960053632811888a^{2} - 441546024995066064452841852328a - 583565780244554063821964289984 )x^{14} + (188474291721374879257048518064a^{2} - 632764152122353983048578453984a + 332783426443381794571252393664 )x^{13} + (32416213051385172650039079432a^{2} - 284420226763323313459310767352a - 490536747363220898492844480632 )x^{12} + (298079615596424832272849746336a^{2} + 437386329458102248435745701088a + 94625495503042667820479297824 )x^{11} + (-479636233701524281531005453448a^{2} - 386035077957747668496620024424a + 97596826608094547074851270720 )x^{10} + (-196295690150642243568781677824a^{2} - 122021827216418238514325033056a - 193845532947874028264293978944 )x^{9} + (-159170156212818541625489312600a^{2} + 508455169898484274669578721468a + 485928124332459691418446900400 )x^{8} + (-511934265166448818914176498048a^{2} + 556795946461339925239645010560a + 303913857675224960503835249664 )x^{7} + (129979365219362168398251441264a^{2} - 453548805774271967903580050784a + 455546719928985820616968699728 )x^{6} + (612648202795465544775053564816a^{2} - 435955665626947315920392333024a - 350791411428034013852992769920 )x^{5} + (219658336194833876003159050760a^{2} + 419085569606566270238446601192a + 230483287446583015512724355056 )x^{4} + (-61376798925427798655546002688a^{2} + 296239601282212366967445357184a - 118594475095635182537767318464 )x^{3} + (-322941031053828992432531960480a^{2} + 52793854975715509396969546416a - 460846021341261214145889991792 )x^{2} + (-406404763237004331086014231648a^{2} + 411687891059220352517345428384a - 370458290481913560409114621792 )x - 361803477010740182399908616016a^{2} - 370679456533266481761427622176a - 377397665357364123333312758964 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary