← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (482793776895630534366781432320a^{2} - 572947993077718908009559635336a - 432003538283974219965761381936 )x^{47} + (-235241531737498968059665331796a^{2} + 618505747661050438612111800316a - 547331472575739075759282331536 )x^{46} + (184563291734069237012746191616a^{2} + 155642551311895994954227530832a + 388118300876505201819421706976 )x^{45} + (-590602173121721714928329150460a^{2} - 131237207699268773195038577236a + 98058376623614547956947503336 )x^{44} + (-193322294137907577968639856936a^{2} - 137305479000079867403734613208a + 38073754431842263683300673680 )x^{43} + (220797130054811832068823736776a^{2} + 82180133889269522731465764640a - 293553992497730399882411190164 )x^{42} + (-43091813906880867245420378560a^{2} + 468856680742401464729886007064a + 258506631995637905468522261904 )x^{41} + (-44839817982371998141856444388a^{2} + 330099157843077928920415253140a + 24767939820849506517421461252 )x^{40} + (431553035617940215733654091392a^{2} - 629853491798578660403818229280a - 387397381805613377611554826480 )x^{39} + (-262678739719438701517064193312a^{2} + 384283550735371251896576992708a - 555715723987376049109124280456 )x^{38} + (-201859298924407142503137821784a^{2} + 19715383810357245691194060560a + 175252217730934715382827623520 )x^{37} + (318570484708949608270128089984a^{2} + 461496202228099368250126873256a - 402580142804464417713127317252 )x^{36} + (-118339103389423047486872275088a^{2} + 476947676412802762730588979312a - 383501683789487134839206663856 )x^{35} + (-91663029037373579903001410916a^{2} + 52966050913597119715883833124a + 497472427835602511560369914560 )x^{34} + (-111256866622319129158542706448a^{2} - 580679152513180025060666341056a + 583774554570711894460937530424 )x^{33} + (602948544779253718936305804444a^{2} - 383503503064446869077846999766a - 76532030540192168308793721804 )x^{32} + (279194469578251156863021944880a^{2} - 337828201566036163150483327408a + 618775161254987743437673389024 )x^{31} + (317262067745323544503815022688a^{2} - 36295332488516522624083622840a - 3423126223306969013209497600 )x^{30} + (453763074042405661709236408800a^{2} - 620617002511991902584726185624a - 420385002216865933207137905920 )x^{29} + (-187900730157429577610630274652a^{2} - 422397851002869922253136488636a + 487736507894828014299474475752 )x^{28} + (350518956123261851226135220624a^{2} + 84748999348832245724260090448a - 619852525026815966118279228896 )x^{27} + (145792734176046758167139532736a^{2} + 431558025831200810623384665584a + 203707519207078531636839441888 )x^{26} + (260835182141178663812018851384a^{2} + 178940154162651624604335763256a - 124229255262441511736187232832 )x^{25} + (-196142946792356371588958095224a^{2} + 176045957061069154722323478888a - 124447204693040960716757925364 )x^{24} + (413346432622322996016504091104a^{2} + 394331886094742991701007252416a + 275696463524461292248125436896 )x^{23} + (-16316051646652653301209356664a^{2} - 161736026714123241295496376184a - 97158741951012167326481743648 )x^{22} + (-405251504203004553954539614800a^{2} - 282585635608640902107650683504a + 245021521203736758061361999936 )x^{21} + (416830978259287143401884634936a^{2} + 249953186152539800825383039608a - 27736759236694302166525352416 )x^{20} + (112819499208604665533126415472a^{2} - 592204584010369174525624804496a - 508422041664552686927688179840 )x^{19} + (479057597596752183989263468200a^{2} + 422333736376806102188350049208a + 560361069571049321984713354440 )x^{18} + (325508070638641972331963824480a^{2} - 594179143438976470195480511616a - 556225967629888847666850920944 )x^{17} + (358815809944471008331040477000a^{2} + 241542453420492373932069302680a + 271038636415106920295545530876 )x^{16} + (-185555558887933439915906428480a^{2} + 516324177061823817588864558112a + 543615432833060767213031545184 )x^{15} + (576893770288287337973115629408a^{2} + 541500536018742755288661559152a + 575662258785406113255319091088 )x^{14} + (580621585784716241967890006352a^{2} + 590412782531825212520790553952a + 178736965109615450703710923168 )x^{13} + (-629978306683020570864659464648a^{2} + 300738581205407941464551834360a + 147441191405206442129972139192 )x^{12} + (-585548214881928053718027721408a^{2} - 46821206787778640506904393824a + 332745353502973429557890724128 )x^{11} + (338360121377936508345900620792a^{2} - 165623036223405238707476816424a + 134349755556558217633394109632 )x^{10} + (-414455925235094479047702715376a^{2} - 324714692273527523086064474000a - 535439808641953895291332497872 )x^{9} + (596174875223505346883034952992a^{2} + 198542834911952213229234756268a - 261613188911905698242559643424 )x^{8} + (-383098537878079326762557685280a^{2} - 429489630050869561389118463840a - 487549792165228345474108428928 )x^{7} + (-267151922926379068678521610288a^{2} - 150351990144077381893950748032a - 445433717469703339654831724576 )x^{6} + (434995252387143760912481796224a^{2} - 495320231944035838706816536096a + 274466976201945744491846441696 )x^{5} + (519124426975982251631916666024a^{2} + 67883977729727521278821223048a + 440997942016333315145642857984 )x^{4} + (-199733408277317090707989229376a^{2} - 139356983444922959076013329792a + 319628098726493568775239093120 )x^{3} + (35609850716673969891135747520a^{2} + 62141856497506342151646433584a + 335265472326034052716663875312 )x^{2} + (497444063760791819226919771792a^{2} + 468851543078377916919284710768a + 450507706268947880149904332224 )x + 171354716754669081987706844496a^{2} - 492671858131421160714380747888a + 543459888766552622155672135364 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary