← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (482793776895630534366781432320a^{2} - 572947993077718908009559635336a - 432003538283974219965761381936 )x^{47} + (-321394344557391390952016401164a^{2} - 384607750428870802745986771892a + 577973678014546332296833907216 )x^{46} + (281361121644087952167873427168a^{2} - 236494927134140158614917960192a + 112761745684815978454865406800 )x^{45} + (284422325363994941009035189300a^{2} - 559370763593707861187042618172a - 513849250266196852961957414600 )x^{44} + (70826745485811499721671969608a^{2} - 471837096696958057870421050152a + 510763456152775265933505830512 )x^{43} + (-616511571894186295777380747624a^{2} - 48366721960407551795495238304a - 200499170395944292332407474740 )x^{42} + (231840085075551903842452224192a^{2} - 448885232387777548912382373360a - 321464006256316115392451211224 )x^{41} + (-164705740114734015980851240620a^{2} + 443503007688323542126351793704a + 213002607161495109986640242436 )x^{40} + (401946512359689562162238532416a^{2} - 278415117946886053476002822848a + 569846491250870614128416644304 )x^{39} + (-512411912772554218692458084432a^{2} - 82865649921956241503593250748a - 629378953443935623708701423272 )x^{38} + (-546627290043995584398727886584a^{2} - 473423894815292403698317173168a - 291697449634723636595919515984 )x^{37} + (-190075430253406125632154592496a^{2} - 387903259860855223550318228896a - 392665656415424974673968072204 )x^{36} + (213666611338086497267151561840a^{2} + 410155501456933634857375275568a - 137897898280643398756495531504 )x^{35} + (304926496933406837044241248196a^{2} + 122062479599875500611252600284a - 549307633955654574552475666936 )x^{34} + (80884209941529783362893910064a^{2} + 350447434639512695839593329792a + 532863415859740333623282313976 )x^{33} + (235468729561875529638779310768a^{2} + 559343595414624177367201402414a + 42595925971741090988841372976 )x^{32} + (415478927435721266555409221808a^{2} - 233916699708291024319812105808a - 205967646885218008076957150784 )x^{31} + (-590386493519497714133478707168a^{2} + 336475138371856095992455300360a + 624628215973668068522761306656 )x^{30} + (63013948834973008171750616224a^{2} - 501008215382092519560956422200a - 27721086970752383626379160032 )x^{29} + (482766784637292533771361667108a^{2} - 98101541216808466495892912700a - 248662288736532945404746066048 )x^{28} + (128164111028750865800386306416a^{2} - 555933950900436216814953274800a + 118875102933133144466423356512 )x^{27} + (433968500224927540742378200736a^{2} + 379343562744082264652880750224a + 288375460324538271718475797280 )x^{26} + (111162621383010992404768841720a^{2} + 56228325787185468597000154840a + 250826683942509020715655353024 )x^{25} + (353665825126185412755517435144a^{2} + 433521404127824304143768285336a + 432074443668070362499398619612 )x^{24} + (-506994528902334023506271393024a^{2} - 178950110130854431282203719392a + 220337826139491638496424048320 )x^{23} + (507791798577045905728485018888a^{2} - 135475562402302020400769850472a + 153176716063800520138858647728 )x^{22} + (599780389405546364185476610992a^{2} - 567942660367672779205240052752a + 193256742950223004550344574048 )x^{21} + (-206375508291269522279734976848a^{2} + 396717295857842717751369275808a - 215247607118061141698553503928 )x^{20} + (-533714827060131634638949078512a^{2} - 64984360033269611422829315984a + 179728875647009451469139429056 )x^{19} + (-293689367300646459880209820728a^{2} - 156316331888546716848009766744a + 154956093172288596904620395480 )x^{18} + (272078126976944899360156725824a^{2} - 478753834322459153466674123808a + 68433852849062781735681112880 )x^{17} + (-437061052142375765534708764760a^{2} + 180862976102266892896290170656a - 405668084528526906600314519876 )x^{16} + (-333578831284149092509364778112a^{2} + 395806567381471660676809370720a - 501963505385060872974313484704 )x^{15} + (582614669273706201263636225664a^{2} - 538560047072499948548856529200a + 605414534792600198849621096400 )x^{14} + (-489905096503160091473058724528a^{2} - 503724617171122981567053392416a - 580184022823717475873001478464 )x^{13} + (-194495066930172961985824875880a^{2} - 210292249167444324763265784952a + 73723733947796778597546806600 )x^{12} + (374094300395002561546103403168a^{2} - 292597735881255204389928511616a + 617979005756442534707481301440 )x^{11} + (633261354414957374047629812808a^{2} - 570458979779406847696856513576a - 25084729027800064875841737744 )x^{10} + (-273677823860516458650031958512a^{2} - 71576372840869678736766628528a - 75242199153397921216431999120 )x^{9} + (234404816738872612910390480592a^{2} - 622778045246604365938730475796a - 108418812111188214042435153840 )x^{8} + (441571633797520790479694031904a^{2} + 266010430601321243580037800864a - 13510456718145766649897387968 )x^{7} + (611169290485189754156736958640a^{2} + 84739992075858226140815735168a - 109633966233251554140632365632 )x^{6} + (489475755471819076965763196640a^{2} + 245733536919284790459416003456a + 46159662855481135133703214912 )x^{5} + (88098251816794066629718327496a^{2} - 37812789062030657057534598728a - 31479649256546589496669716880 )x^{4} + (-72532086498917140058835326144a^{2} - 144902478872582754626230710592a - 531348845031797065235848955008 )x^{3} + (-203191522251556636421121892160a^{2} - 617123370760600396594729449056a - 221937082759790838563266618976 )x^{2} + (55476785117719482940430952080a^{2} - 522391991017114291217126807600a - 44442233394825770383399695872 )x + 267445306218931583741997714320a^{2} + 599854206762906215228195266896a + 301087158987096447370159165540 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary