← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (482793776895630534366781432320a^{2} - 572947993077718908009559635336a - 432003538283974219965761381936 )x^{47} + (-500001778836247744206388621156a^{2} + 451245693237938880819930945860a + 246333224237356583099733881496 )x^{46} + (-445150107787163507759129096560a^{2} + 427817334522853564113343400192a - 169397333460019014501184336320 )x^{45} + (615771303945530987557881056172a^{2} - 211053721343282630900440285164a + 545771670125015175464012776496 )x^{44} + (-619062617075862594022840437368a^{2} - 23551152992959170513660573496a + 558378313122962206620567659344 )x^{43} + (240882545574629322919265632a^{2} + 31589061287926367643125255496a - 173541784012467974872323616444 )x^{42} + (547814949737117711890688294600a^{2} - 497042584037363688107579245232a + 306359328098823316170246998248 )x^{41} + (-390536558564792020984113331568a^{2} - 594250775439400210710174919824a + 612475137702794635776115778336 )x^{40} + (-455804428517644492202599506656a^{2} - 612959230131060541555561813184a - 48019767892189201024742216432 )x^{39} + (-97696293682488362268806117504a^{2} - 531203930725178115316437270556a + 310584654824085764160178371992 )x^{38} + (-400642359659054428710628296088a^{2} - 58021354024735116825226949712a - 203801518127574899949998889072 )x^{37} + (602382779119116463271440578488a^{2} - 534133060725047087812404941520a + 312052494385995700935859459420 )x^{36} + (-588992835872258255194677528272a^{2} - 149183712594509039857433042448a + 510607751692530198788231821648 )x^{35} + (-470659548199307410642633876860a^{2} - 386616260138465923652996100188a - 185239612724380880220359787048 )x^{34} + (-45568322144990420508234260096a^{2} - 416779464661531900184897075152a + 444689125310536098098264804424 )x^{33} + (-560855323456739050264255059224a^{2} + 198275961503707929617593272994a + 519255688411918643175416595020 )x^{32} + (488259660209349408437765457360a^{2} + 531677653487189858943647405104a - 265763258718430380898868919200 )x^{31} + (-541369162315612375188979493568a^{2} + 108364661528434509670686999400a - 491398735375249273875249046848 )x^{30} + (-266909240585980510719791581792a^{2} - 317853642473445451117417394072a - 112416581618460481555353423424 )x^{29} + (139250766604706524849908885716a^{2} - 33522718689339681756889721548a + 599389306578639516394054173576 )x^{28} + (-395954667715342720658918504080a^{2} - 345141399990760132972246167056a + 433649307526832337506579814848 )x^{27} + (-552293199747338299706240661968a^{2} - 302877519541533025494488446032a - 607853023305538106621654787904 )x^{26} + (-434929794452422795296318488072a^{2} + 417957983769602422310281957272a - 117140180062744348937490397600 )x^{25} + (618761535391970171438420513128a^{2} + 164614580620573971795310027568a - 108460458668648410883151947724 )x^{24} + (370147792881350774273833959424a^{2} + 368502246098128074122841773632a - 94091007237404814358639128800 )x^{23} + (268362688638686899381488285688a^{2} + 119077448515930882755865120728a + 306043604352255218215639773664 )x^{22} + (211543355035851841454239709936a^{2} + 370862010194919317535164658320a + 91017949028710843220599706336 )x^{21} + (606739413951323384516717534496a^{2} - 1454195374501469038280148408a + 348840223899537349492826607488 )x^{20} + (-23713895250547372923546259408a^{2} + 362083911241780829138690211024a - 564174700085139482652711617952 )x^{19} + (502125027796862519804474698584a^{2} - 269958054962187342745174296120a - 604090402359939631827967553224 )x^{18} + (411372952205171524370699028512a^{2} - 126143421658689868874592002944a - 527387305487436362563840005808 )x^{17} + (165977164357006407571725250800a^{2} - 234756428019534097639212570240a + 264003551203133818754646537316 )x^{16} + (-148856079253654206303783450496a^{2} - 301674734236294659309854722720a - 631389971121952440027183201120 )x^{15} + (-418382313449208977720461795904a^{2} + 287211846205383653454039820464a - 213214947219484057658770851472 )x^{14} + (-13393807894954246013730464112a^{2} - 368702066903409713982019071648a + 504414844850771571067134479328 )x^{13} + (-50560633180797542120000332360a^{2} + 106221214279277786353738030264a + 391112002782421298107333450856 )x^{12} + (320017920957823385199217717408a^{2} + 429767419057848612091522530592a - 344607670132773106146679506080 )x^{11} + (520105135784551160697102578712a^{2} + 520994256895132496894375551016a + 286629925575621229994676948064 )x^{10} + (368579870601282157255424845872a^{2} + 482480026616777729583373335056a + 270942675577904069244758134928 )x^{9} + (-127938946922273691038049412672a^{2} + 95701883245085286669888201948a - 176977257868371373028987527072 )x^{8} + (-258217640283708212803770853792a^{2} + 279561324911104333229374463840a - 469793575573290503833817534656 )x^{7} + (-303564331283626794788411195664a^{2} + 447313000965046457152326080128a + 362096286040025100835420482624 )x^{6} + (387719199454163588221737487584a^{2} + 279868336318608244268588633120a - 422010776432827295815319264736 )x^{5} + (-407336001620129137983855038824a^{2} + 353809595836638438045694507288a - 338778993707849777166510822032 )x^{4} + (224111198515462707358142208320a^{2} - 2305370779038018744510390976a - 262515591917716278810113025152 )x^{3} + (-182618252222554921288145903472a^{2} + 565309621358876091964067128864a - 491544538259031418429807136160 )x^{2} + (-357671524396001884245815179664a^{2} + 203205502469742386475812911824a + 282738573796807246026043153824 )x + 30154605453024128330259862672a^{2} - 539003612353408791850731147888a - 88020619920433341367223811004 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary