← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.436024_665600_823096.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-81613674158264183807177891782a^{2} - 151449297749268833118542370895a + 167126330833012544782996574806)\mu_3 + (175415477216347314109061756178a^{2} + 241220655994178625516575553375a - 290759328977330986772505990524))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + 4)c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 2)\mu_3)c + (3a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (482793776895630534366781432320a^{2} - 572947993077718908009559635336a - 432003538283974219965761381936 )x^{47} + (-194242179235052797685935922972a^{2} + 609116001178260872559299899060a + 480226080244280604468642043720 )x^{46} + (320034455586648176555222562736a^{2} - 319396028959282830894974631728a - 524209135507319040824178830288 )x^{45} + (-42410029292803418812102263780a^{2} - 534549930097462897441860689508a + 594509002282179799935821462912 )x^{44} + (-551695720993133278244745073864a^{2} - 628914105992023743056947460136a - 200736009192357908140890213872 )x^{43} + (-52514575943437980992507081408a^{2} - 478433532424799973650593969272a + 510733005991968585809452245812 )x^{42} + (19176983641803692423813531192a^{2} - 478803453085008137789810573704a + 93611806245101585964979401312 )x^{41} + (216516148796969812645885497464a^{2} - 381763565144296342787663067804a - 111443023466679897962786947696 )x^{40} + (-372082037795682437889896025504a^{2} - 342082931487745733415420700320a - 586447131653971117779752034032 )x^{39} + (-172609262353552256680596582736a^{2} - 252000671558996222222893541884a - 590986815411210924378120290312 )x^{38} + (291266053942841234713986997000a^{2} - 526959359993040104267017559600a - 471213707678932457990001452320 )x^{37} + (543033400133655737274018505304a^{2} + 497092397129585171557706962008a + 94546129369281992333682759140 )x^{36} + (-599631735902386699140855874000a^{2} - 26872501149818288898323903696a + 78962790536239306705300895504 )x^{35} + (69554841709246655603707461788a^{2} + 62108029089955929694830580524a + 429341830806426374660750668992 )x^{34} + (101928658050254290624775148608a^{2} - 400396607275129687351517826544a + 414979635603446926258642221928 )x^{33} + (427264548016337360306858776236a^{2} - 273180697472635487186763477458a - 528025503988216439221226922928 )x^{32} + (-387934357254037505124408214064a^{2} + 66890297436509049943468832528a - 320833979983732441129733416192 )x^{31} + (-402757129137997002326389484960a^{2} + 25359529958361741059607261160a - 523928561966156910307871795584 )x^{30} + (-362441032496522701040237396832a^{2} - 134227317970716209867657830968a - 496027969316260979658615221728 )x^{29} + (402400178359926126305324065444a^{2} + 193084494810092581835862502964a - 547112114387393619413257107936 )x^{28} + (110173565193289684992194478672a^{2} + 453918106463130924160982432880a + 69314857534835633056107803840 )x^{27} + (-176617098518024376462553225360a^{2} - 598564054201248390671738079344a + 483408931738710401592802033120 )x^{26} + (-480023232507599849754201913448a^{2} - 587102616284224984821462979048a - 188802999848079970707305108512 )x^{25} + (-554427797671981267544324193544a^{2} - 131394410235423510690301379392a - 27563547146053290277958629356 )x^{24} + (105432830619587209926793903520a^{2} - 166293986455552685649053308576a - 175243697528498285237748228288 )x^{23} + (547908554682890198840350399000a^{2} - 512868214280216399067723475160a + 597063983764350267475263940240 )x^{22} + (-122149381072060381480199134928a^{2} + 444063855314674427662832427696a - 495268149221403271467128343872 )x^{21} + (432291432588725199874791497192a^{2} + 152026550658539115664785256192a + 269890135592308596992140538904 )x^{20} + (337413575625911722281328562448a^{2} - 47222783431190009218248480176a + 429685770142390433742994659360 )x^{19} + (375391341392151799515808355544a^{2} - 258074046928801077641493421928a - 114237743681255413218707495864 )x^{18} + (-249050585362262316857406887488a^{2} + 429012180352208915619536612096a - 555891085375681680580665536912 )x^{17} + (-624755033059211022856600882928a^{2} + 126187741927780445862303527528a + 207053895153865426121528529380 )x^{16} + (605816015162215312791776208832a^{2} + 254112131336623417794258689568a + 369718042666290897726444662432 )x^{15} + (-471673378169552280539585472608a^{2} + 322022680522766963576973391312a - 558128718296546260373318279888 )x^{14} + (475757658849264324021930568336a^{2} - 280395818871903033465024649568a - 575964506527183695769854988224 )x^{13} + (572283807307046321825482554264a^{2} + 435626714417268412270099427368a + 171768618728568993878397834872 )x^{12} + (-91819384460657303406984972480a^{2} + 344517423242891789220179569472a - 200124444476283792414459012928 )x^{11} + (333435542135686831983886034536a^{2} - 227735937621849885414804327224a + 30936259208164314987178659632 )x^{10} + (-525688308776273202480628509776a^{2} + 553635805793318056934492920240a + 103802215535691556480000326416 )x^{9} + (445499387790000372794884749840a^{2} - 292634799110302896647379392740a - 20077543321431715866423911440 )x^{8} + (-246002045554619634029471622368a^{2} + 461287534863933002419360167136a + 55181409899766315664388962688 )x^{7} + (322194544638765897365887008336a^{2} + 262200230100209141262428745344a + 599298309157395706004582389216 )x^{6} + (-84009164060880178204393705664a^{2} + 180684926946045387863595445312a - 343516375983023971593981528128 )x^{5} + (548289476070556215210470251512a^{2} + 338036893032259816521219164008a + 586896119804811109606428583232 )x^{4} + (-488655563866207928647588084288a^{2} + 633386453055983457716187409280a - 286035273978171487143595268992 )x^{3} + (-499335083918778315887705510736a^{2} + 503043792000092071269611231984a + 491168159147154521741777774928 )x^{2} + (341439871798224248789887075888a^{2} + 610848513108837388945672074672a - 407085545668604371043169441248 )x - 500349922825616831060987848144a^{2} - 331690109761571391163872480624a + 223329038161374119632173768708 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary