← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-58469561039544724505388705176a^{2} - 323904916216168633756514864712a + 75395098261357849667588248896 )x^{47} + (-72729989643965808211471944544a^{2} - 525577167631831354935502908748a + 616982216632223866057970112280 )x^{46} + (492702948238068878174827697656a^{2} + 412311106396715327160724018040a + 227460043121701324121880303896 )x^{45} + (-39969910827590528251723430976a^{2} - 631683789948547758840637067448a + 555446549344108487654370213348 )x^{44} + (-81802214617671446029265963328a^{2} + 490386789482668665384832352016a + 540661773022279814182930185520 )x^{43} + (-475193041244175091515669036724a^{2} + 415460915408576846791516431340a + 290512428005112380918215203188 )x^{42} + (197894290301329312623456294120a^{2} - 433001374932870369637423804528a - 300258308082318776529950650760 )x^{41} + (-33074848946558597741055513188a^{2} - 65435946345870192429769189956a + 300383494926590795533707523416 )x^{40} + (474123372413166337273460330288a^{2} + 333404041838964837514218771120a - 253369746575167497599996893744 )x^{39} + (-276204605981354777781853468728a^{2} - 579220784137657985801918823320a + 382862430446671641263110864304 )x^{38} + (-405135933604238300610890992480a^{2} + 347158512655219599433593528064a + 223663832223076642891873971744 )x^{37} + (400727220458162571842800116836a^{2} - 457156727312186461816791802076a - 233740804568329758208522070592 )x^{36} + (-24310348369761985146112481088a^{2} - 13639200647374542520018139920a - 414820954265357357971686592832 )x^{35} + (340380469363474725382259359304a^{2} - 99472514503196405181437745000a - 495643852684733256666111457080 )x^{34} + (193246006581360139303829045064a^{2} + 53435602059090841404593040104a + 121882331368461405371066278192 )x^{33} + (-500526211973606881017857845848a^{2} + 286926260994771734017671803224a + 478754599887693289677411291352 )x^{32} + (-97602111653573199356195370224a^{2} - 224313823644637747904316878112a - 7916670018587750258277251968 )x^{31} + (-513501454802865921857170710768a^{2} - 241002352149462762701295816008a - 122309706654483966994826857176 )x^{30} + (374980074211614729221483080648a^{2} + 318467038364481461099949051632a - 356210219873123324577765625200 )x^{29} + (417659371832835909361770451504a^{2} + 354570269179012195097292024696a + 312999482374058640910099752960 )x^{28} + (-331396736678361089590890147424a^{2} + 360857349753505014431618593296a + 135427190441511750617686455792 )x^{27} + (-108996333415995161897909370880a^{2} + 563021632762776931835563792720a + 9817054896473298553810610520 )x^{26} + (283538416177929478016991312384a^{2} + 91289614652899532619645839072a - 421025533406380341744665118624 )x^{25} + (-480207396808042577662958117768a^{2} - 505544582882832878521806709480a - 567396160834358662645641264088 )x^{24} + (461865489230945321272905339472a^{2} + 171149204962380221684739823632a + 384778922346313327656156902208 )x^{23} + (440747754724966504810147123184a^{2} - 224097672183969620416600015976a - 459403743382397903570665719136 )x^{22} + (-542845565410159146190841422912a^{2} + 373968846844723983544597827264a + 228042838769123633529208546736 )x^{21} + (-570593261776192580867035493632a^{2} - 73863769943300494367910835712a + 435229092048678333203668470360 )x^{20} + (-567933191579516994917702463200a^{2} + 68971485135835061114097038528a - 368934265770346861714480392960 )x^{19} + (395289913362193011563064837000a^{2} - 333708954898643232198097593736a - 585300901595194166003533616424 )x^{18} + (575438428277877103807905518160a^{2} - 180359764156359595132833341344a + 349199114309007311154197757104 )x^{17} + (-201237015166066306362917157496a^{2} - 368122720483132121430876539032a + 261874223207323216797704770544 )x^{16} + (103141225368032833494661378240a^{2} + 151971978414248918713127349920a - 317968126045550250412256242944 )x^{15} + (596957383291639864697592358928a^{2} + 432844254005641343957625571056a - 585020862237062397597457678016 )x^{14} + (-533876122143025417598837922880a^{2} - 309855466081225504418388224672a + 130058427059829444669521415488 )x^{13} + (169354565180965985988543481432a^{2} + 44850451577730956733317823704a - 352708493495761448429916903184 )x^{12} + (-168107804066878714202729114496a^{2} - 215792971209681751006368230624a + 523677577593082317001724817056 )x^{11} + (86003385978451629510739569776a^{2} + 447433143036583178455260920528a - 459411026649064326880775106864 )x^{10} + (-337871438112688038601236555536a^{2} - 217087627270590691227065045840a - 336110148387112491399152331712 )x^{9} + (107897757097549586435347519664a^{2} + 23972738320515407616588442480a - 250675940320694922727767920912 )x^{8} + (-197513980444281342612895912864a^{2} + 529678401685382516582406081920a + 252543496523419486043875236352 )x^{7} + (56850109947145965453589498512a^{2} + 305251075924139054793757088288a - 309390281541277084641309498528 )x^{6} + (-280010422275668560418098930096a^{2} + 293264686401962916324940553664a - 354812071911441616175940804384 )x^{5} + (490603781817885633287340723392a^{2} - 141252927216111419592924194320a - 24996224432512999597065635712 )x^{4} + (-236013717864422739411187783936a^{2} - 214740584774492211558234951008a - 58893305793681159753540511648 )x^{3} + (354644491288241183078172353536a^{2} - 488179824472277070425403078368a - 48835407925912277063324523504 )x^{2} + (-40883489493193397706414563712a^{2} + 348425299416135695178531308288a - 465099930426183627222194702656 )x - 478747959491492282477236629872a^{2} + 123964777332086557013273223456a - 593699005387914301751137437700 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary