← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-58469561039544724505388705176a^{2} - 323904916216168633756514864712a + 75395098261357849667588248896 )x^{47} + (-313509905616514777625033848512a^{2} - 11614625883415088740529878188a - 212809968911458610190205724232 )x^{46} + (-339032061892388586828236354808a^{2} - 518286210164239560568724720568a + 612396326717061371395709006248 )x^{45} + (171154044476078572230785929376a^{2} - 214154511096463865664941028136a + 401001962853603043388464523804 )x^{44} + (-364535807185935450265729264544a^{2} + 234432169963381483552157266640a - 179970988430247872071423618336 )x^{43} + (-411913136449831526596743070980a^{2} - 83242843355470875732307687300a + 70990124856089902121057570084 )x^{42} + (-44329723392380101927373029056a^{2} - 558230813575816314224968247200a + 533366449106505406277761949936 )x^{41} + (78292054813493807554336999796a^{2} + 301275486675909078195894304668a - 132926637229492202638154263248 )x^{40} + (313436112614133622120692084080a^{2} - 482247119664464461569156931472a - 74010833134282840148202401744 )x^{39} + (224374302226620934972378412392a^{2} + 327165021914599975927741133096a + 299013877940639929334491648176 )x^{38} + (-181332053552458710282276059360a^{2} + 376358257991285904006413938560a + 402324389624490559795607722720 )x^{37} + (79314569287918884241691281412a^{2} + 562277809903827911220393200820a + 86968754943078081586799616680 )x^{36} + (73883340623836438182497642256a^{2} + 95295251412744596073715971984a + 317508435307949624228991255296 )x^{35} + (-492716839537177093233034360272a^{2} - 73462930654241767164350716480a + 47975276963807552385178205680 )x^{34} + (-34814302756708846901481670728a^{2} + 65025480349776045528232225288a - 444320375362472767434242311248 )x^{33} + (-352875463711126718933350800488a^{2} + 209368376000276805700396194784a - 623240628272895598251728146776 )x^{32} + (-384012275356724772804062467312a^{2} + 591407775800642317589084355232a + 339984758896433700017817913536 )x^{31} + (509351688750907696848045301152a^{2} + 264871529142741914065882818872a + 85193197698972085394317788440 )x^{30} + (164801853938214275982712222280a^{2} + 296370486067292723913286442416a - 515763811865203375267132870224 )x^{29} + (-506945556323911317322964238080a^{2} + 574716358922087873798458673272a + 184673795546534284019128065216 )x^{28} + (-93687255226989289493932339264a^{2} - 488581958163430615868681236880a + 74279909802538373492517178032 )x^{27} + (-244711387960641967121806553664a^{2} + 160509075241280653215762999584a - 47123770268619936679994602344 )x^{26} + (-248607881863577163407019807520a^{2} - 241383458810913960428607499872a - 618368954272265634314266201952 )x^{25} + (427768987378590861839818350760a^{2} + 561453958396239981897385023096a - 134196299327298668237939905792 )x^{24} + (-464615973271228399896197366224a^{2} - 167442012929842180030647688144a + 478038692757402532682964715296 )x^{23} + (-129198353454043982478963731168a^{2} + 298735476524335266791747217048a + 451266027320288343938078411904 )x^{22} + (430450513894909076505177171648a^{2} - 627845040614580413003565366144a + 341143115733688162160117958512 )x^{21} + (-372570713721814807700494887744a^{2} + 316340765409500554444067306512a + 630744579260479277073437155720 )x^{20} + (-73898298159521664220110873248a^{2} + 504878484570049146658190850176a + 91231177305662039650477316448 )x^{19} + (369629858007284148704488357544a^{2} - 581865843928012402131386338792a + 546314107701465698849639809448 )x^{18} + (-406793486982657275790090686432a^{2} + 524223997656438503607886706272a + 209350730526019662065415910496 )x^{17} + (-232203921197722272731821392568a^{2} - 463705218379954966249545857064a - 633753535379687700080944456464 )x^{16} + (458549468546315095850569941568a^{2} + 366392555270846337380243956512a + 559599453537722408830434923712 )x^{15} + (-181532237494655779880200821936a^{2} + 269165870067185823723952214320a + 5928145003842634127060869600 )x^{14} + (-52419261500814524216370342976a^{2} - 57394003023243101723028008416a - 296922016014842631880797862848 )x^{13} + (-234948576408998624606527976872a^{2} + 148968673726625105957078208472a - 412680074774777292663829500064 )x^{12} + (-96669489369017739017119465120a^{2} + 569999840876606425084414584672a + 117080721196643711478722882912 )x^{11} + (224796143373233346778996257152a^{2} - 268550083159580827705540242784a + 429090064982039798718549781312 )x^{10} + (-162681674340243370138529993488a^{2} - 96518284671818888111458389840a + 15045614730799320398985584928 )x^{9} + (422669296649815424541412819792a^{2} + 496730925267960372974424921824a + 560355978294016497889989949712 )x^{8} + (116737779814413676574213064288a^{2} - 305854012406354532710242920512a + 52446474971545427439131077824 )x^{7} + (-497981209775828453565876364432a^{2} - 484890119824612323899603960000a + 377334736402663186295509232896 )x^{6} + (181894872127607863451983771600a^{2} - 190158476778504508229246326560a + 60215230750342972341890068288 )x^{5} + (422713007149737329179966235104a^{2} - 2533268134315711697813424976a - 217037321349135405580019090368 )x^{4} + (-129791465820043363943898940352a^{2} - 249287078415846098968053010976a + 613020631716830506621320874336 )x^{3} + (-271239640209994848994017747072a^{2} + 212796004878777130282440309408a - 561627166461064774357576008496 )x^{2} + (-32532666864415747024166528000a^{2} + 27519731117055015745060886592a - 13699334679702403915306901632 )x - 443616119630925836061848178336a^{2} + 327354369063725439582528662672a - 488764181224007105679086758228 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary