← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-58469561039544724505388705176a^{2} - 323904916216168633756514864712a + 75395098261357849667588248896 )x^{47} + (-1177172683574969351466351424a^{2} + 280195537658725113813114362548a + 527440063546179844068340479704 )x^{46} + (181234817626355629951911013064a^{2} - 325839027414815570462995911752a + 26871707269942062675427151672 )x^{45} + (-503037086435254334007866277408a^{2} + 43230898879524882986089669848a - 434659369266942115970425660548 )x^{44} + (-86330946994233005706724967728a^{2} - 507442911144396332527732288720a - 483555718864101567894126688304 )x^{43} + (-22701395085775129457490732956a^{2} - 583845207081883846542138419700a + 390131341118828045246719518676 )x^{42} + (-208505107540536110126495813816a^{2} - 576891402553453877436682936848a + 251301883130284440505925620240 )x^{41} + (-611273852621864478363900044404a^{2} + 566667408338200767619318602964a + 171453529046362145144598852872 )x^{40} + (-519678225037468965629052413424a^{2} - 223050197919745847189039383632a + 408689407178216187728988644912 )x^{39} + (142322389147431126840887467336a^{2} - 310267152696076976572365908184a + 73420140218299502472274658064 )x^{38} + (95796328246517306790316267360a^{2} + 186744015412502956170243901120a - 301240221984925099915878716608 )x^{37} + (319536453874340540957807891508a^{2} - 60405736687947896729856059140a - 592398802787832152559885831208 )x^{36} + (182290953220632545282568239856a^{2} - 94690120546811069423722207040a - 454951320284637686771806120128 )x^{35} + (27112224793838995506449367680a^{2} + 614041617789819741205349907256a + 595418723616190339624846533280 )x^{34} + (-433805561099145166261489241992a^{2} - 308666781911821350742596293624a - 244841233949613090294351686912 )x^{33} + (-211062241882462226039682121160a^{2} + 249053571840980568411096004336a + 240804732498663642333367164264 )x^{32} + (448389854565236064556188973840a^{2} + 34173170524086188574827902816a - 322682629141222360269478071808 )x^{31} + (-299237318497534036636740096944a^{2} + 472607606147380912531490728552a - 603643372227913020379372120200 )x^{30} + (148881264264406916756551558312a^{2} + 11969204221698425074166348496a + 566921925805547186598696122032 )x^{29} + (-219501760406442253319228719728a^{2} + 566145129630769504938818471064a + 510358841522286261115193899664 )x^{28} + (-577550056316380153258414952160a^{2} - 437367107187086499946628959952a - 47748577780791309245762604208 )x^{27} + (-331318384009649830152894169168a^{2} + 551829844257894923282469648576a - 576523622526245785763181308952 )x^{26} + (513767000419733771866499927808a^{2} + 303863478663111140275733968480a - 321038259459324292567030979232 )x^{25} + (-488342525221661389807471518856a^{2} - 600094717986593463589665721288a - 224353978437246558442496041056 )x^{24} + (212418894414954618123924205712a^{2} - 366571182405330472109037040112a + 375205828945551890080705220960 )x^{23} + (261561438264125783083058105344a^{2} + 476161767498476787774552653512a + 348476160256943209152361621824 )x^{22} + (-83018003814686130761209038208a^{2} - 398532398175011088866527572704a + 597589483263060674646388277488 )x^{21} + (-210083824723268876372410712480a^{2} + 378994131710310857069055766512a + 12197108572560412945499365400 )x^{20} + (-434574195020069698746574107200a^{2} + 36193885936845464734377476864a - 198518792888662297026903702144 )x^{19} + (-243665657125690546143658672712a^{2} - 380667455343835679226153895432a - 78957884729596863274559161688 )x^{18} + (378401296780892277706625431472a^{2} + 439377806915474417017670001792a + 149010895811118245900113607904 )x^{17} + (606450314187682987161739185800a^{2} - 425802514737371158129056926088a + 268229794896055190378594236800 )x^{16} + (-504904834684387062663604071104a^{2} + 10583790803590573092687824736a - 215470543746423229854451000704 )x^{15} + (-425811306832824280468730517200a^{2} + 518069119238823496790061372688a + 272686140960891025077261428032 )x^{14} + (493028084167878283466799221632a^{2} + 502667486421882413020992602336a + 228122811848063667262889623680 )x^{13} + (-470089812964351015012299120424a^{2} + 228634216439183273681364014600a - 131985049166450999713080598336 )x^{12} + (461580362771257773959596819616a^{2} - 464041205463167145095220254336a - 13786939133540548481393753184 )x^{11} + (217625016324249833194935789504a^{2} - 144147258922469093684925444816a - 546257321587728992512096332768 )x^{10} + (-233431021000299362636154584080a^{2} - 480154148138362560302996456016a + 81191059782608077186787302336 )x^{9} + (-345087655485897750534602051152a^{2} - 430022579744514562797153403552a - 1056634570774911222248293104 )x^{8} + (-355705421502495243187145454688a^{2} + 394661846910701837332231512128a - 534594051705576232537862434496 )x^{7} + (-333769178544667550949372922768a^{2} - 267589731847546595969916733600a - 557746036602284404493888064000 )x^{6} + (10906886429713155996466424048a^{2} + 462818024741484693685761025504a - 361755973733364298399139912512 )x^{5} + (109283046780878483069962876736a^{2} + 372324257330464949142076338288a + 189389705778098631598078123040 )x^{4} + (190668593983000861530977021440a^{2} + 613388297852464573529873421024a + 68323469934858775668731944224 )x^{3} + (-357595861582515320669841479008a^{2} - 248934521972599292484378028384a + 572964878050959937710289759056 )x^{2} + (-433676302455265315176514111424a^{2} + 95498386694963530271334042880a + 305624609222507622020735491584 )x + 233128721693376359988728032480a^{2} + 370474582391523566841079915600a - 15305763413394585315981872468 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary