← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-58469561039544724505388705176a^{2} - 323904916216168633756514864712a + 75395098261357849667588248896 )x^{47} + (-144207969247806409315258333792a^{2} - 172346466435552743093034008876a - 312775146452956020449354732616 )x^{46} + (286109344105953235673320705848a^{2} - 455193266824851551776341915512a - 577722339283358499300108339224 )x^{45} + (-403525415615981640505199437552a^{2} + 304429888099066744045010654632a - 510588405188721753994723511164 )x^{44} + (-17575072002653792659273272464a^{2} - 441219190169403460535954295120a - 234441796963394042056528504384 )x^{43} + (-624515998059577796276969008876a^{2} + 475481890715736438016396137580a - 67868701267234769019330898956 )x^{42} + (-80780048969650380490573846528a^{2} - 566992085762456603181712181392a - 159711961681233812914105102920 )x^{41} + (350123236857942911102886897380a^{2} + 16453954754135216719115212452a + 189188204987337824678660659888 )x^{40} + (528231332913311787999933557904a^{2} + 376597509712869387853513846192a + 595428406337784426346142175696 )x^{39} + (-147571771346257538280050609496a^{2} - 14185476517661741474397480600a - 392420873962199837233337742512 )x^{38} + (617834155035684917424135724512a^{2} + 523226248106676210115425242368a - 423777007189120560249909669568 )x^{37} + (104448203503148789174858999732a^{2} + 325581371107742908663033215804a + 17679746379161723027739239392 )x^{36} + (164961343976548767163627861312a^{2} + 96384675577615842604953462240a + 487687092554065784251528619520 )x^{35} + (-277358117605683419677133227880a^{2} - 74875187257631220558027714480a + 605861959306106359817982908600 )x^{34} + (-477850552634244715319216447192a^{2} - 180496498585023497036060381752a + 606464019214705137307589677280 )x^{33} + (-462182448376794102787310724328a^{2} + 172976168709036363693666219096a + 626712583511800866048765928392 )x^{32} + (-156603343671259427876990165616a^{2} + 267378984230628629702824370720a - 411715743455573601233689208512 )x^{31} + (-12472230461947587306267567008a^{2} + 484991953630044199739150073192a - 169567517999039208920074137784 )x^{30} + (175405750281242865127510381864a^{2} - 128099746044263843875559689008a + 62869432639042905218717602000 )x^{29} + (-395397199731728876774856311360a^{2} + 59116014070610131159314602616a + 35763527775692015089033039280 )x^{28} + (-178504743134563646091817068160a^{2} - 473430632068622586667202368944a - 301652215016185201096372806768 )x^{27} + (-367677561505686498151335315536a^{2} + 262274609412448283926296552656a - 20360267829967080949277821240 )x^{26} + (-118847739971154570437571752608a^{2} + 234804297405469487020986012576a + 356476530450794385784939619872 )x^{25} + (-506678433638732003633007852936a^{2} + 136072301091150551424494658376a + 212758875759501689624840308584 )x^{24} + (-309824295973742639487228508880a^{2} - 68744346555503315342284002192a - 351635325171572727425641676864 )x^{23} + (373535753179978880907317836976a^{2} + 611948651722769184429567074216a - 207790493949036915590505514048 )x^{22} + (-218432400762526416182039454784a^{2} - 575058745275694491880033747360a + 614050753056094131090090937968 )x^{21} + (-468941263658073042189864968160a^{2} - 308163813535024003604417174432a - 524177340217480247599840606648 )x^{20} + (-207853561306453075794885891968a^{2} - 516535497126440039273820157632a + 317003751161226744659309566176 )x^{19} + (-57997116094939090083512366152a^{2} - 195981026518988987536503611304a + 125088522905160260344207747512 )x^{18} + (543072984153895434829387690144a^{2} + 176500468870139912404752983040a + 268826781673461594118347126192 )x^{17} + (-340426063242121829562904722136a^{2} - 449162095678363106874634273880a + 225297821774526610232235803488 )x^{16} + (172943834639406714144575497152a^{2} + 133254647756221678326124409568a + 608966846620150114998363975616 )x^{15} + (-358622820242918490343287223952a^{2} - 516897871603682459068888874736a - 288680246928508843335721616544 )x^{14} + (122570664801645729357880849536a^{2} + 341708540331022699731600732064a + 359127759221743187105732882560 )x^{13} + (-125319976811022966625754047048a^{2} + 114517660931188560085137174952a + 515590325949938307688368915792 )x^{12} + (484412952811916857853990140416a^{2} + 280312498757540348826850140608a - 321879369574046190501801291168 )x^{11} + (450336336722948272288052469488a^{2} + 70322640532534872310113590720a - 357592863024552801173061785584 )x^{10} + (515336733772885688559021564656a^{2} + 380629310109097827379766797424a - 269757155167363758766013859296 )x^{9} + (-399190615422053133855167786576a^{2} + 571392123370117549348463753328a + 58128278007259412101627527888 )x^{8} + (-299240154574796771295952016864a^{2} + 196818950344958359188665870976a - 279245179690372013359068994048 )x^{7} + (-234988698716999023509676808304a^{2} - 421771221940771698147050646784a + 31105797942860385723970233120 )x^{6} + (-80919790605337856192264324688a^{2} + 315540543714393041574724831680a - 535231916054160792877181032672 )x^{5} + (556961301260043323233539008224a^{2} - 128526540087410731195892939984a - 99340894358523103039354737056 )x^{4} + (238699034353861367266870097728a^{2} + 523619519446505313420754830368a - 134750760009845538489939651168 )x^{3} + (-223000283636938910491287953056a^{2} - 397079371889570176007638139808a - 621996874550996867735121530352 )x^{2} + (-162969531137011066605965481024a^{2} - 38661367806166664723518399680a - 247368973653548533822280348992 )x + 390919792046688409920535702064a^{2} + 468469116054731548867342297664a - 329248479584158683601039329668 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary