← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (323904916216168633756514864688a^{2} - 133864659300902574172976954096a - 58469561039544724505388705200 )x^{47} + (39136124595602945916670410632a^{2} + 183082294553213037563208254576a - 123345207284388544356762305656 )x^{46} + (-500640096248808536133514543664a^{2} + 33657084282449402773870833432a + 357346621095024876459103444832 )x^{45} + (99234563216311908598117619704a^{2} + 528801914427880401645821551324a - 358997342403970310288268309428 )x^{44} + (-150836536193087413155359431680a^{2} + 219566526669662933730674749616a - 148098899528246406986138996208 )x^{43} + (-536510072061016912417401762480a^{2} - 5035822486420806086257580608a - 169119235860733483351331038452 )x^{42} + (177355362960082344310460432488a^{2} - 324761921065768387174532559824a + 298619678636073233595413681176 )x^{41} + (-621910725183047289858540151916a^{2} - 375026705227935191048476512684a - 504836522937204754675088155052 )x^{40} + (388734215160004859781991755424a^{2} - 209573713528687170555074277104a - 16163314382144367974348060256 )x^{39} + (-297839760408951060998315741592a^{2} - 196043655759913518447516111296a + 327804823796829949537305893392 )x^{38} + (409824875699950762555257414248a^{2} - 353010684090052916988490078328a - 44679996011028647599239276384 )x^{37} + (532475048234665228848402500992a^{2} + 29139054658022998024552430520a - 136872182606988524124138420000 )x^{36} + (361027037446216271531187946736a^{2} + 449755964315802050053227261008a + 96364047370483648725863155712 )x^{35} + (599594780938009501604315903248a^{2} + 371865941768312399504337205472a + 71707592842763483138468011312 )x^{34} + (162503295806381209414754329840a^{2} + 216981598155141861609022518600a + 566965427548125869846141368064 )x^{33} + (-209244565148806375582379996904a^{2} + 142331678781390948461037960816a + 372162443248148514938888528432 )x^{32} + (531252924187710755197228766416a^{2} - 121167749597500448713607086832a - 593556914450984177187493295504 )x^{31} + (-369614378215549402026539734496a^{2} - 268916145471336451887040587136a + 188094695181499438580669486888 )x^{30} + (630583731951431318811090944864a^{2} + 85481009907130440971273919408a + 209127061587676475244332543808 )x^{29} + (78248310702997818323514877200a^{2} + 152228700618649307483539085224a - 14786797525394397973996069888 )x^{28} + (-451637750566549102457064251328a^{2} + 174501498087973361787476212576a + 446857838859842303658905027200 )x^{27} + (-240791950211091970286999449520a^{2} - 19626716085566393000411643464a - 595020344320315125681245078992 )x^{26} + (79185295621918049045591320656a^{2} + 507248630977098824885339730704a - 543917987483594956319438314416 )x^{25} + (-592135375155351190072705113604a^{2} + 171213862846038769568755755076a - 398219987229025831835970176180 )x^{24} + (149095036440150663074402288192a^{2} + 434767047415618474263877409952a - 101319678326008783626177084096 )x^{23} + (-256276844441163700012212700272a^{2} + 238055294512503556343856074080a - 76158606372415067933706422928 )x^{22} + (-598910400934716673019350164384a^{2} - 311135201016101446941317456720a + 383368787918891187495673192384 )x^{21} + (370887913674001976505737920072a^{2} + 269827744651888000298645458304a + 534167653841646611595684866776 )x^{20} + (154196275408335415542948894720a^{2} + 461293174450821586694915048064a + 233347377374284995816322643328 )x^{19} + (-223683280242486735391570455808a^{2} + 612771886587032511560603067528a - 37211756711501564124203757144 )x^{18} + (514786460342875344982483019536a^{2} + 316935450716283678487471701824a + 25101316538062060114352289152 )x^{17} + (46206886261075867864114819552a^{2} + 188166860940839006790109122488a + 271396468717406013821480553424 )x^{16} + (584991821575138523426391725280a^{2} + 180513920379736255784419368192a - 410586217588651084702530286176 )x^{15} + (-410755246892633640137647057968a^{2} - 50063272282869705846220698384a + 326547456817416263888370536624 )x^{14} + (-587244405860487513735317420704a^{2} - 522586650284171938984901546208a + 331916652155394703041253526992 )x^{13} + (-233527644250873692861361731696a^{2} - 3561521099142630621992280608a - 331755911180221870021727945904 )x^{12} + (-363594579075174234213034576448a^{2} + 378017356239857588714384648448a - 301097019270345902951546965280 )x^{11} + (-270970146320890244186658238624a^{2} - 71474530769759683821023181792a - 424119095178216319102607078208 )x^{10} + (-570150180207946352889053158128a^{2} - 142523229178872653130796644144a - 101139586041155565146009504864 )x^{9} + (17151934256887017023369194864a^{2} + 127870407471496573205499597456a + 465592395572134311013232765648 )x^{8} + (-571841804057243264256705476992a^{2} + 287385646302219148561841672224a - 26898460505398103112310758272 )x^{7} + (67712031791176555813823435504a^{2} - 44103107508757590492373031456a - 408531006764712421750362259824 )x^{6} + (-477395441449167787070298271776a^{2} + 94100769083809479331756619488a + 116590990151114737456290970112 )x^{5} + (-219637596231696933459217535248a^{2} + 489607418150444096042791888304a - 471548552984324437076151459456 )x^{4} + (-353198782167809755118514474944a^{2} - 480399202158134714290861097920a - 437733430492897327960396867328 )x^{3} + (336815906590174185120141312464a^{2} - 307984480501578012547765251184a + 618164195990386821202952515648 )x^{2} + (566354780275611112487384718656a^{2} + 288680209594653826070613704736a + 133211759094816279867770206656 )x + 361112009742753183840961366700a^{2} - 13016472370932933452855192928a - 296621316038796058742299479076 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary