← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (323904916216168633756514864688a^{2} - 133864659300902574172976954096a - 58469561039544724505388705200 )x^{47} + (463975731500243985559037187880a^{2} - 588496902872839014627380933504a + 136669255396733799363621638856 )x^{46} + (-462760268087530472580783688464a^{2} + 389880926968779129322705563880a - 399135090047100277467509943488 )x^{45} + (-504588495715760717451018183856a^{2} - 114038300683209663812146714836a - 415928412500733344390961373828 )x^{44} + (-202632500397387212931607840368a^{2} + 317297745273564705705806593984a - 248001397149216827004591523072 )x^{43} + (21274325995365218784491111280a^{2} - 468897285010059959026855040696a + 38215779034888218759631044852 )x^{42} + (459075164397986612597186227208a^{2} - 191194934803638678603316977696a - 247522367181935398385130540504 )x^{41} + (411951292953757840806589881412a^{2} + 594460414395172765291952675508a + 194019440217654169252870250540 )x^{40} + (-388966762780636124690320353440a^{2} - 316252024324224118437383135088a + 247915249277389638243357766240 )x^{39} + (399264107318477288517531507016a^{2} + 374536760598333773754840973056a - 166694021202916508532204062816 )x^{38} + (-75391174634253410564298652104a^{2} + 222064355449280146921262599704a + 585204771815091851915528369104 )x^{37} + (-80414701423694793864459093200a^{2} - 128677371043984109986306096672a - 535634795278370913666453038072 )x^{36} + (-156880668867523540213635988144a^{2} - 356445356277951232440702952528a - 418938844386269058793790095744 )x^{35} + (165979495860795804036085355440a^{2} + 525647155250651934198901332832a - 153336043380313671578937022656 )x^{34} + (272795642156476319339285926544a^{2} + 122158326004516509674577780472a + 264328675602995923803722116448 )x^{33} + (-612044457094052812721295939224a^{2} + 308612967843388316388544881984a - 251461034009273008118647004712 )x^{32} + (-32664408637915421543581827760a^{2} + 244945907634715366060042944080a + 50873406517093050229884613872 )x^{31} + (-497201432500131350589975645248a^{2} - 592242793044895065073636624240a - 399486077663097453423785688712 )x^{30} + (472003037230508935842573270976a^{2} - 579805556638460696000198941808a + 518464336660289631423244455232 )x^{29} + (-310700326978275288588789927312a^{2} + 401365814601480084255361437592a - 228638939821839773747004522352 )x^{28} + (43077291239516307491912728352a^{2} - 1077317388515160733810698304a - 76420320717613723763947338496 )x^{27} + (-122996783420770193573905475104a^{2} + 106230417006798034717274060184a - 31512742327300744252366326784 )x^{26} + (85593692200517927756182925536a^{2} + 541805533273280701020362178032a + 396730593437388486113655600672 )x^{25} + (132309899766036356798729787772a^{2} - 415038952443173546999833044484a - 123280080501024500468330675468 )x^{24} + (-391848793484759702822023134720a^{2} - 630790792121175020875756679968a - 604588463891964342845829970368 )x^{23} + (-256394352419076755536901133520a^{2} + 165309820810249838583321088736a - 387733031967667276493404596720 )x^{22} + (541124163310099820909439078560a^{2} - 72032540873819085809980729072a - 525241997096571550515989533696 )x^{21} + (-622228799619302756795187080360a^{2} - 573047629696382746943535413264a + 261201174725180001887572534776 )x^{20} + (-16422007621715984884697098368a^{2} - 399035626520454490967616679584a - 462905562339216230587063497920 )x^{19} + (-19493472359113483215205341984a^{2} + 327107843648687779702659292680a + 487850943368338658309854244744 )x^{18} + (376549846295238312359251916400a^{2} - 613415082090839095129992128096a - 291220463632586187672511346176 )x^{17} + (249134354088000797443285302288a^{2} - 438866661138735526681479448824a + 551178480381271185427097409344 )x^{16} + (-362883062474571230401025748000a^{2} + 363782643774576337392175957632a + 326820220268480924913430784544 )x^{15} + (-595163091375348382820197110672a^{2} - 462957915843280946976404404880a - 17057328317149909364865863088 )x^{14} + (369978354665252352451313829344a^{2} - 470153943990531878780730780704a + 147107443381964774636881358288 )x^{13} + (-342204341550471479658083982512a^{2} - 246540914261518110217740252560a + 523234232634527795470030322288 )x^{12} + (-578325218624995416194717365568a^{2} + 269344791828639246529526867136a + 175136309728872819585716370208 )x^{11} + (402013357601560805989321057792a^{2} + 3445080671076967006660419584a - 145812767888069230071141246816 )x^{10} + (194482568251256647548733517424a^{2} - 119638681419285516959321873680a + 183489670510976963573215556288 )x^{9} + (243718770142997969354389038064a^{2} - 351576690303956349847471804864a - 533303787841943867161762763936 )x^{8} + (-274255860375655693071261398208a^{2} + 506703884783571042672202906784a + 220167497765176564732312355200 )x^{7} + (-512292733490570438288258845424a^{2} + 455809341428263630203980964448a + 485216689761945781379010855824 )x^{6} + (299150884940754956623332194144a^{2} + 506543091578255847767651030624a + 381224610108500044483131135232 )x^{5} + (-500750724150867339000131457648a^{2} - 314351070014985240478426514384a + 193220104693285927305434254144 )x^{4} + (569931186668224765580196756224a^{2} + 82979459049425675704783058880a + 447259830034585527904415015296 )x^{3} + (-349412368481294409129651370544a^{2} - 176792878260076078148557823888a + 469861583043627717901809672160 )x^{2} + (-67677511689568822976817597152a^{2} + 17224198731798783666115559200a + 501491110907932993768428333568 )x - 14890912825073651913263247188a^{2} - 348285201039898164323948074832a + 253280301898126289924448260636 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary